Normalverteilte Zufallsvariablen berechnen

Question

Aufgabe:

Es seien $X_{1}, \ldots, X_{150}$ unabhängig und identisch $N_{10,4}$ -verteilt.
(a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt $X_{1}$ einen negativen Wert an?
(b) Berechne approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass von den Zufallsvariablen $X_{1}, \ldots, X_{150}$ mindestens 30 einen negativen Wert annehmen.

Ich habe ein Problem mit der Aufgabe oben. Ich habe probiert diese mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes zu lösen. Allerdings glaube ich, dass ich irgendwo etwas falsch einsetze, da die Werte bzw. Ergebnisse bei mir zu groß sind um sie in der Wertetabelle der Standardnormalverteilung wiederzufinden.

Daher wollte ich mal nachfragen, ob mir jemand helfen kann zumindest den richtigen Ansatz zu finden.

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Frage wieder eingeblendet, da dklaus die Frage als erledigt gemeldet hat und hier nichts mehr kommentiert hat. Vgl. Kommentar unter der Antwort.

Answer 1

Ist bei N_10,4 10 der Erwartungswert und 4 die Varianz?

Dann wäre die Wahrscheinlichkeit bei a) viel zu klein.

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Nein, die zweite Zahl gibt die Standardabweichung an.

Die Wahrscheinlichkeit für ein negatives X1 beträgt 0,0062.

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Ja das habe ich auch heraus (p = 0.00620966532). Und dann ist der Erwartungswert für die Normalverteilung bei b) unter 1 und damit auch die Standardabweichung unter 1. Und damit dürfte man mit der Regel von Moivre-Laplace gar nicht mit der Normalverteilung nähern. Man kann hier aber auch mit der Poissonverteilung nähern.

Die Wahrscheinlichkeit das dabei allerdings mind. 30 mal negative Werte auftreten ist auch unglaublich klein.

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Wie genau kommt man bei a) auf dieses Ergebnis ?

Ich dachte nämlich hier wären die Parameter σ2 = 4 , μ = 10 und n = 1 . Jedoch bekomme ich dabei für P(X1 ≤ -1) kein sinnvolles Ergebnis raus.

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Die Wahrscheinlichkeit das dabei allerdings mind. 30 mal negative Werte auftreten ist auch unglaublich klein.

Allerdings. $9\cdot 10^{-36}$ ist schon recht klein.

Jedoch bekomme ich dabei für P(X1 ≤ -1) kein sinnvolles Ergebnis raus.

Negativ heißt doch einfach nur, dass X1<0 ist.

Und 0 ist hier μ-2,5σ.

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σ² = 4

Dann wäre 4 die Varianz und nicht die Standardabweichung. Schaut mal wie ihr das definiert habt. Ich kenne das in der Notation N(μ, σ²) man findet aber auch die Notation N_μ,σ im Internet.

Und die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Wert ist

P(X < 0) = Φ((0 - μ)/σ)

Damit komme ich auf den ausgerechneten Wert. Wie gesagt macht b) allerdings nicht so viel Sinn. Aber das erst recht nicht wenn 4 die Varianz ist.

Bei b) komme ich damit auf

P(Y ≥ 30) = 9.68012023·10^(-36)

Dieses jetzt ohne Näherung.

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Alles klar, ja ich kenne es eigentlich auch nur unter N(μ, σ²) , daher war ich auf etwas verwirrt was hier der genaue Wert für σ ist.