Warum ist die Ableitung von (x+1)^2(1-x) sofort 2(x+1)(1-x) - (x+1)^{2}?

Question

Aufgabe:

Ableitung: (x+1)^2(1-x)

Problem/Ansatz:

Ich habe dies so gelöst, dass ich zuerst Ableitung: (x+1)^2 ausmultipliziert habe und dann mit (1-x) multiplizierte. Ich habe -3x^2 - 2x + 1 = 0 bekommen.

In den Lösungen steht eine viel schnellere Ableitung: 2(x+1)(1-x) - (x+1)^2 -> (x+1)(1-3x)

Die Variante in der Lösung sieht viel einfacher aus, was macht man da genau?

Vielen Dank.

Comments

Ich habe -3x^2 - 2x + 1 = 0 bekommen.

Wieso erhältst du auf einmal eine Gleichung?

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Vermutlich soll die erste Ableitung null gesetzt werden, was einfacher ist, wenn man die faktorisierte Form vorliegen hat.

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Der Fragesteller hat das zwar nicht formschön geschrieben aber ich konnte es verstehen

Die Funktion wird ausmultipliziert

f(x) = (x + 1)^2·(1 - x) = - x^3 - x^2 + x + 1

Jetzt die Ableitung gebildet und Null gesetzt

f'(x) = - 3·x^2 - 2·x + 1 = 0

Alles ist soweit vollkommen richtig. Nur dann hat er eben in der Lösung die Ableitung über die Produktregel mit anschließendem Faktorisieren gesehen was hier deutlich schneller geht. Er wollte jetzt nur wissen wie das genau Funktioniert.

Wie das Funktioniert hatte ich ja bereits in der meiner Antwort geschrieben.

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@Mathecoach: Habe nun mal die Tags geändert und gleich noch deine Interpretation der Frage in die Überschrift zu integrieren versucht.

Answer 1

Ableitung mittels Produktregel

f(x) = (x + 1)^2·(1 - x)
f'(x) = [(x + 1)^2]'·(1 - x) + (x + 1)^2·[(1 - x)]'
f'(x) = [2·(x + 1)·1]·(1 - x) + (x + 1)^2·[-1]
f'(x) = 2·(x + 1)·(1 - x) - (x + 1)^2

Jetzt (x + 1) ausklammern und den Rest zusammenfassen

f'(x) = (x + 1)·(2·(1 - x) - (x + 1))
f'(x) = (x + 1)·(2 - 2·x - x - 1)
f'(x) = (x + 1)·(1 - 3·x)

Kannst du das so nachvollziehen?

Answer 2

Hallo,

Ableitung mit Produktregel:

(uv)'=u'v +uv'

Damit

[(x+1)^2(1-x)]' =2(x+1)(1-x) -(x+1)^2

= (x+1) *(2*(1-x) -(x+1))

=(x+1)(1-3x)

Answer 3

Hallo,

Produktregel:

u=(x+1)^2  ;  v= 1-x

u'= 2(x+1)^1 *1 ->Kettenregel   ; v'= -1

y'=u' *v +u v'

y'= 2(x+1) (1-x) +(x+1)^2 *(-1)

y'= 2(x+1) (1-x) -(x+1)^2 

Answer 4

f(x)=(x+1)²(1-x)

Produktregel:

u=(x+1)²   u'= 2·(x+1)

v=1-x        v' =-1

u'v+uv'= 2(x+1)(1-x) +(x+1)²(-1)

f '(x)= 2(x+1)(1-x) - (x+1)²

Answer 5

Produktregel:

2(x+1)(1-x)+(x+1)^2*(-1) = ...