Aloha :)$$a_n=\frac{5}{1-2n^2}$$Wenn du zeigen möchtest, dass \(a=0\) der Grenzwert dieser Folge ist, musst du zeigen, dass \(|a_n-0|<\varepsilon\) für fast alle \(n\in\mathbb{N}\) gilt. Das heißt, du musst ein \(n_0\in\mathbb{N}\) finden, sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt: \(|a_n-0|<\varepsilon\). Dieses \(n_0\) kann dabei von \(\varepsilon\) abhängen. Nehmen wir also im Folgenden ein beliebiges \(\varepsilon>0\) an, dessen Wert für die Rechnung festgehalten wird.
$$\left|a_n-0\right|=\left|\frac{5}{1-2n^2}\right|=\left|\frac{5}{2n^2-1}\right|=\frac{5}{2n^2-1}\stackrel{!}{<}\varepsilon$$Jetzt, wo die Betragszeichen verarbeitet sind, kannst du nach \(n\) umstellen:
$$\left.\frac{5}{2n^2-1}<\varepsilon\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{2n^2-1}{5}>\frac{1}{\varepsilon}\quad\right|\;\cdot 5$$$$\left.2n^2-1>\frac{5}{\varepsilon}\quad\right|\;\cdot+1$$$$\left.2n^2>\frac{5}{\varepsilon}+1\quad\right|\;:2$$$$\left.n^2>\frac{5}{2\varepsilon}+\frac{1}{2}\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.n>\sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}+\frac{1}{2}}\quad\right.$$Da die Wurzel eine reelle Zahl ist, exisitiert nach dem Archimedischen Axiom ein \(\tilde n\in\mathbb{Z}\) mit$$\tilde n\le\sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}+\frac{1}{2}}<\tilde n+1$$Wählen wir \(n_0:=\tilde n+1\), gilt:$$\forall_{\varepsilon>0}\;\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\;\forall_{n>n_0}\left|\frac{5}{1-2n^2}-0\right|<\varepsilon$$Das heißt, die Folge konvergiert gegen \(a=0\).
