Question

Betrachtet man die Binomialverteilung mit den Parametern n und
p, so kann für großes n und kleines p die Binomialverteilung durch
die Poissonverteilung approximiert werden, d.h.

(n über k) p^k(1 − p)^n−k ≈(λ^k /k!) e^−λ, k ∈ Z⁺_.

Hierbei ist λ = np. Eine Solarzelle in einem Solarmodul genüge mit einer Wahrscheinlichkeit von
0.0002 nicht der Qualitätskontrolle. Benutzen Sie obige Approximation, um die Wahrscheinlichkeit,
dass
a) höchstens zwei von 5000,
b) genau eins von 1000,
c) keines von 100
dieser Solarzellen bei einer Kontrolle beanstandet werden, approximativ und berechnen Sie falls
möglich die Ergebnisse exakt.

Könnte mir hier bitte Jemand helfen?

Answer 1

a) höchstens zwei von 5000

Exakt: ∑(COMB(5000, x)·0.0002^x·(1 - 0.0002)^(5000 - x), x, 0, 2) = 0.9197
Approx: ∑((5000·0.0002)^k/k!·e^(- 5000·0.0002), k, 0, 2) = 0.9197

b) genau eins von 1000

Exakt: COMB(1000, 1)·0.0002^1·(1 - 0.0002)^(1000 - 1) = 0.1638
Approx: (1000·0.0002)^1/1!·e^(-1000·0.0002) = 0.1637

c) keines von 100

Exakt: COMB(100, 0)·0.0002^0·(1 - 0.0002)^(100 - 0) = 0.9802
Approx: (100·0.0002)^0/0!·EXP(- 100·0.0002) = 0.9802

COMB(n, k) ist hier der Binomialkoeffizient.

Answer 2

a) höchstens zwei von 5000 

-> λ = 0.0002 * 5000 = 1

\(P \approx e^{-λ}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^2 \dfrac{\lambda ^k}{k!} = \dfrac{5}{2e}\)

b) genau eins von 1000

-> λ = 0.0002 * 1000 = 0.2
\(P \approx e^{-λ}\dfrac{\lambda ^1}{1!} = 0.2 e^{-0.2}\)

etc.

Answer 3

a) P(X<=2) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

λ = 5000*0,0002= 1

P(X=0)= 0,0002^0/0!*e^(-1) =

Rest analog