Wendepunkt / Sattelpunkt

Question

Meine Frage:

Wenn für eine Funktion ein Wendepunkt gegeben ist, kann da auch gleichzeitig ein Sattelpunkt gegeben sein?

Beispiel:

f(x) = -2/3 x^3 + 2x^2 - 2x + 2

f‘(x) = -2x^2 + 4x - 2

f‘‘(x) = -4x + 4

f‘‘‘(x) = -4

Ich habe die 2. Ableitung 0 gesetzt und das Ergebnis dann in die 3. Ableitung gesetzt.

-4 ≠ 1, also besitzt die Funktion an der Stelle einen Wendepunkt. Oder? Und wenn ich das Ergebnis in die 1. Ableitung einsetze, dann erhalte ich: -2*1^2 + 4*1 - 2 = 0

Also besitzt die Funktion an der Stelle auch einen Sattelpunkt? Oder habe ich was falsch verstanden? Il

Comments

https://www.mathebibel.de/sattelpunkt-berechnen

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Answer 1

Wenn sowohl die erste als auch die zweite Ableitung an einer Stelle gleich Null und die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist, liegt an der Stelle ein Sattelpunkt. Hier liegt an der Stelle x=1 ein Sattelpunkt.

Answer 2

Du hast alles richtig verstanden. Allerdings gibt es auch Funktionen, bei denen die erste und zweite Ableitung an einer Stelle Null sind, obwohl kein Sattelpunkt vorliegt, z.B. \(f(x)=x^4\). Eindeutig ist bei deiner gegebenen Funktion, dass die zweite Ableitung bei x=1 das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt. Deshalb ändert sich das Krümmungsverhalten von Links- nach Rechtskrümmung und es liegt ein Sattelpunkt vor.