Aloha :)
In deiner Wahrheitstafel haben sich kleine Fehler eingeschlichen:
$$\begin{array}{c} p & q &\overline p & \overline q & p\land q & \overline p\land \overline q & (p \land q) \lor (\overline p\land \overline q)\\0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\end{array}$$
Nachdem der Ziel-Ausdruck bei (b) korrigiert wurde, hier noch die nötigen Umformungen dafür.
Der Trick ist eigentlich recht einfach. Ersetze \(\land\) durch \(\cdot\) und \(\lor\) durch \(+\). Oft wird auch noch vereinbart, dass \(\land\) bzw. \(\cdot\) Vorrang vor \(\lor\) bzw. \(+\) hat. Das spart sehr viele Klammern. Mit diesen Ersetzungen kannst du dann fast "wie gewohnt" rechnen. Oft kann man aber noch zusätzliche Vereinfachungen durchführen, weil die Variablen ja nur die Werte \(0\) oder \(1\) annehmen können. Für die Negation gibt es 2 sehr wichtige Regeln, die man sehr oft braucht. Das sind die beiden Regeln von de Morgan:$$\overline{x+y}=\overline x\cdot\overline y\quad;\quad\overline{x\cdot y}=\overline x+\overline y$$Ich habe mir gemerkt: "Wenn der Negationsstrich geteilt wird, ändert sich das Rechenzeichen von \(+\) zu \(\cdot\) oder umgekehrt."
Gehen wir damit mal die geforderte Umformung an, fangen aber hinten beim Zielausdruck \(x\) an, also bei dem, was rauskommen soll, und wandeln es in den Ausdruck für \(a\) um:
$$x:=(p+\overline q)\cdot(\overline p+q)=p\cdot\overline p+\overline q\cdot\overline p+p\cdot q+\overline q\cdot q$$
Hier haben wir einfach die Klammern ausmultipliziert, wie wir das beim normalen Rechnen getan hätten. Nun können wir vereinfachen, indem wir ausnutzen, dass \(p\) und \(q\) nur die Werte \(0\) und \(1\) haben können:$$p=0\quad\Rightarrow\quad p\cdot\overline p=0\cdot 1=0$$$$p=1\quad\Rightarrow\quad p\cdot\overline p=1\cdot 0=0$$Es ist also immer \(p\cdot\overline p=0\). Dasselbe gilt natürlich für \(\overline q\cdot q\). Damit sind wir auch schon fertig:
$$x=\underbrace{p\cdot\overline p}_{=0}+\overline q\cdot\overline p+p\cdot q+\underbrace{\overline q\cdot q}_{=0}=p\cdot q+\overline p\cdot\overline q=a$$
Schau mal im Netz unter dem Stichwort "Bool'sche Algebra". Da solltest du einige gute Lehrvideos finden.
