Bei (b) ist die allgemeine Lösung $$ u(x) = c_1 \sin(\mu x) + c_2 \cos(\mu x) $$
Die Randbedingungen ergeben die Gleichungen
$$ (1) \quad c_2 + c_1 \mu = 0 $$ und
$$ (2) \quad c_1 \sin(\mu) + c_2 \cos(\mu) = 0 $$
(1) und (2) zusammen ergibt die Gleichung $$ c_2 [ \mu - \tan(\mu) ] = 0 $$ Für die nichttrivialen Lösungen muss also gelten $$ \mu = \tan(\mu) $$ Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen \( \mu_k \). Mit \( c_2 = -c_1 \tan(\mu_k) \) sind die Lösungen
$$ u(x) = c_1 \frac{ \sin[ \mu_k (x-1)] }{ \cos(\mu_k) } $$
Bei (c) zeichnest Du am besten mal die Funktionen \( \tan(\mu) \) und \( \mu\) in ein Diagramm, dann sieht man die unendlich vielen Lösungen \( \mu_k \)
Bei (d) ist die Lösung gegeben durch
$$ u(x) = c_1 e^{ \mu x } + c_2 e^{ -\mu x} $$ Die Randbedingungen ergeben die Gleichungen
$$ c_1 + c_2 + c_1 \mu -c_2 \mu = 0 $$ und $$ c_1 e^{\mu} + c_ 2 e^{-\mu} $$
Diese beiden Gleichungen ergeben zusammen die Gleichung
$$ \frac{c_1}{\mu-1} ( \mu \cosh(\mu) - \sinh(\mu) ) = 0 $$ Die nicht trivialen Lösungen muüssen also die Gleichung $$ \mu = \tanh(\mu) $$ erfüllen. Diese Gleichung hat aber nur die Lösung \( \mu = 0 \) Da bei (d) aber negative Eigenwerte gefordert sind, der Fall \( \mu = 0 \) ist ja schon in (a) abgedeckt, folgt, dass \( c_1 = 0 \) gelten muss und damit auch \( c_2 = 0\)
D.h. es gibt keinen negativen Eigenwert und es gibt nur triviale Lösungen.
