Polynomfunktion: zeigen, dass es eindeutig bestimmen Koeffizienten gibt

Question

Aufgabe:

Für \( i, j \in\{1, \ldots, n\} \) mit \( i \neq j \) gelte \( \alpha_{i} \neq \alpha_{j} . \) Zeigen Sie, dass es zu gegebenen \( \beta_{1}, \ldots, \beta_{n} \in K \) eindeutig bestimmte \( a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n-1} \in K \) gibt, so dass für die Polynomfunktion

$$ P: K \rightarrow K, x \mapsto P(x)=a_{0}+a_{1} x+\ldots+a_{n-1} x^{n-1} $$
gilt \( P\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i} \) für \( i=1, \ldots, n \)

Mir fehlt ein bisschen die Idee :(

Answer 1

Aloha :)

Es ist ein Polynom \(P(x)\) vom Grad \(n-1\) durch \(n\) gegebene Punkte \((\alpha_i|\beta_i)\) mit \(i=1,\ldots,n\) und paarweise verschiedenen \((\alpha_i)\) gesucht. Betrachte dazu folgenden Term:$$T_i(x):=\frac{\prod\limits_{{k=1}\atop{k\ne i}}^n(x-\alpha_k)}{\prod\limits_{{k=1}\atop{k\ne i}}^{n}(\alpha_i-\alpha_k)}$$Der Zähler von \(T_i(x)\) besteht aus \(n-1\) Faktoren, weil ja der Faktor \((x-\alpha_i)\) von der Produktbildung ausgenommen wurde, und ist daher ein Polynom vom Grad \(n-1\). Da nach Voraussetzung die \((\alpha_i)\) paarweise verschieden sind, steht im Nenner eine von Null verschiedene Konstante.

Für die Funktionswerte gilt:$$T_i(\alpha_k)=\delta_{ik} = \begin{cases} 1\quad\text{falls}\quad i=k\\0\quad\text{falls}\quad i\ne k \end{cases} $$

Damit setzen wir folgendes Polynom zusammen$$P(x):=\sum\limits_{i=0}^n\,\beta_i\,T_i(x)$$Es ist nach Konstruktion vom Grad \(n-1\), enthält alle Punkte \((\alpha_i|\beta_i)\) und es ist nach Konstruktion eindeutig durch die Punkte \((\alpha_i|\beta_i)\) bestimmt.