Was ist der Zusammenhang zwischen den Kombinationen/Variationen mit der Wahrscheinlichkeit

Question

Aufgabe:

Man zieht 8 mal davon sollen genau 5 gelb sein. Dabei gibt es 13 gelbe und 12 rote.

Wie hoch ist die wahrscheinlichkeit 5 mal gelb zu ziehen

Ohne zurücklegen

Problem/Ansatz:

Also durch den binomialkoeffizienten gibt es 56 verschiede Pfade... aber was soll ich jetzt machen? Hilft mir das überhaupt.

Ich verstehe generell den Zusammenhang von Kombinatorik und wahrscheinlichlichkeit nicht

Answer 1

Generell benutzt man bei solchen Aufgaben das Laplace-Prinzip. Finde ein Modell, bei dem jedes einzelne mögliche Ergebnis gleich wahrscheinlich ist. Dann musst du zwei mal "zählen": WIe viele mögliche Ergebnisse gibt es insgesamt, und wie viele davon führen zu dem gewünschten Ergebnis? Dann ist die Wahrscheinlichkeit einfach der Anteil. Die Kombinatorik ist in diesen Aufgaben ein Hilfsmittel zum Abzählen. Du musst in dieser Aufgabe abzählen: 1. Wie viele mögliche Ergebnisse hat das Experiment "8 mal Ziehen aus 25 Kugeln ohne Zurücklegen". Das steht im Nenner. Und: 2. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es, wenn man aus 13 gelben genau 5 und aus den 12 roten genau 3 ziehen will. Alternativ: Wenn du die hypergeometrische Verteilung kennst, kannst du diese anwenden und musst nur die richtigen Parameter einsetzen.

Comments

Also muss ich das so rechnen :

((8 über 5) mal (8 über 3)) : (25über 8)?

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Inzwischen hast du sicher die Lösungen gelesen und vermutlich (mit Mitdenken) verstanden, wie der Zähler zustande kommt.

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Also ist das nicht richtig?

Sry ich bin immer noch nicht weiter.

Bin sehr sehr schlecht in stochastik

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Ja, deine zwischenzeitliche Antwort war falsch. 25 über 8 im Nenner scheint dir klar zu sein, der Zähler funktioniert aber nach dem gleichen Prinzip. Auswahl von 5 aus 13 und 3 aus 12 ergibt jeweils einen Binomialkoeffizienten, und da Kombinationen solcher Auswahlen jeweils verschiedene Möglichkeiten ergeben, ergibt sich die Gesamtzahl durch Multiplikation. Vielleicht hilft es dir, wenn du ein Beispiel mit kleineren Zahlen bearbeitest, bei dem du noch explizit alle Kombinationsmöglichkeiten aufschreiben kannst. Wenn es z.B. nur 3 gelbe und 2 rote Kugeln sind, und man zieht nur 3 mal, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafür, genau zwei gelbe zu ziehen? Du kannst natürlich auch einfach, wie schon erwähnt, die Formel für die hypergeometrische Verteilung vom Prinzip her auswendig lernen und verstehen, welche Zahlen wo eingesetzt werden.

Answer 2

(13über5)*(12über3)/(25über8) = 0,2618

oder mit Baumdiagramm:

(13*12*11*10*9*12*11*10)/(25*24*23*22*21*20*19*18)*(8über5) = ...

Answer 3

Aloha :)

Es gibt insgesamt 25 Objekte, 13 gelbe und 12 rote.

Es wird 8-mal gezogen, und es sollen genau 5 gelbe Objekte dabei sein.

Ich würde mich auf die Grundidee der Wahrscheinlichkeit zurückziehen:

$$p=\frac{\text{Anzahl der günstigen Fälle}}{\text{Anzahl der möglichen Fälle}}$$Fangen wir mit dem Nenner an. Es gibt \(\binom{25}{8}\) Möglichkeiten, aus den 25 Objekten genau 8 auszuwählen. Nun zum Zähler. Von den 13 gelben Objekten sollen 5 gezogen werden. Dafür gibt es \(\binom{13}{5}\) Möglichkeiten, von den 12 roten Objekten müssen dann genau 3 gezogen werden. Dafür gibt es \(\binom{12}{3}\) Möglichkeiten. Das heißt:$$p=\frac{\binom{13}{5}\cdot\binom{12}{3}}{\binom{25}{8}}=\frac{1\,287\cdot220}{1\,081\,575}\approx26,18\%$$