Nur durch einen Logarithmus ausdrücken

Question

 Aufgabe:

1/3*lg(x-y)+1/3*lg(x+y)-1/3*lgx-1

Problem/Ansatz: Ist das richtig? Wie geht es weiter?

³√x/y *³√x*y  /  ³√x /10

Answer 1

Nein das ist nicht richtig.

Da müsste am Anfang immer noch ein lg stehen.

Außerdem ist lg(x-y) nicht lg(x/y).

Die Terme (x-y) und (x+y) müssen auch in deinem Ergebnis (zumindest vorerst, bevor du die dritten binomische Formel anwendest) wieder vorkommen.

Answer 2

Erst einmal 1/3 ausklammern.

Die ersten beiden Summanden fasst du dann so zusammen:

\(\lg(x-y)+\lg(x+y)=\lg[(x-y)\cdot(x+y)]=\lg(x^2-y^2)\)

Außerdem gilt \(1=\lg10\) und \(3=\lg1000\).

Mit lg(a)-lg(b)=lg(a/b) müsstest du dann weitermachen.

Also:

\(\frac{1}{3}\lg(x-y)+\frac{1}{3}\lg(x+y)-\frac{1}{3}\lg x-1\)

\(=\frac{1}{3}\lg(x^2-y^2)-\frac{1}{3}\lg x - \frac{1}{3}\lg 1000\)

\(=\frac{1}{3}\cdot \lg \frac{x^2-y^2}{1000x}\)

\(= \lg \left(\frac{x^2-y^2}{1000x}\right)^\frac{1}{3}\)

\(= \lg \sqrt[3]{\frac{x^2-y^2}{1000x}}\)

Comments

lg(x-y)^1/3 + lg(x+y)^1/3 - lg x^1/3 - lg 10 =

lg ³√(x-y) + lg ³√(x+y) - lg ³√x - lg 10 =

lg ³√(x²-y²) /x - lg 10 =

lg (³√(x²-y²) /x) / 10 =

Wie weiter?

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Deine Klammern sind falsch.

Tipp: \(1=\lg10=\lg(1000^{1/3})\)

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lg(x-y)^1/3 + lg(x+y)^1/3 - lg x^1/3-lg(1000^1/3) =

Ist jetzt die erste Zeile richtig?

Wie geht es weiter?

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Ich habe meine Antwort vervollständigt. Lesen musst du schon selbst.  ;-)

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Vielen Dank für deine Hilfe. Laut Buch soll das Ergebnis folgendes sein:

lg(1/10 *³√x²-y²/x)

Ist das Ergebnis im Buch falsch?

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Entschuldigung! Beide Ergebnisse stimmen! Es ist schon so spät. Mir raucht der Kopf!

Tausend Dank nochmals für deine Hilfe und deine Geduld!

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lg(1/10 *³√x²-y²/x) Ist das Ergebnis im Buch falsch?

Nein - das ist das gleiche! Die 1/1000 unter der Kubikwurzel kannst Du natürlich raus nehmen $$\sqrt[3]{\frac 1{1000}} = \frac 1{10}$$

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Das x im Nenner muss aber unter der Kubikwurzel stehen.

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Danke, das habe ich verstanden.

Trotzdem habe ich noch eine kurze Frage: Wenn bei der Angabe anstelle -1, -1/2 stehen würde. Wie drücke ich -1/2 dann aus?

1/3 lg(x-y) + 1/3 lg(x+y) - 1/3 lgx - 1/2 =

= 1/3 lg(x² - Y²) - 1/3lgx - ?

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Wie drücke ich -1/2 dann aus?

egal was da steht, z.B. \(a\), so kannst Du immer schreiben $$a = a \cdot 1 = a \cdot \lg 10 = \lg 10^a$$also im Fall von \(a=-\frac 12\) $$a = \lg 10^{-\frac 12} = \lg \frac{1}{\sqrt{10}}$$

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Vielen Dank.

Also:

1/3 * lg(x²-y²) - 1/3*lgx - lg 10^-1/2=

= 1/3 * lg ((x²-y²) / x) - lg 10^-1/2=

= lg (³√x² - y²/x) / 1/√10 =

wie weiter ?

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wie weiter ?

nix weiter - Du bist fertig. Die Aufgabe war, es nur durch einen Logarithmus auszudrücken. Du kannst es noch etwas aufräumen$$ \begin{aligned}\dots &= \lg \left( \frac{\sqrt[3]{ \frac {x^2 - y^2}x} }{ \frac 1{\sqrt{10}} }\right) \\ &= \lg\left( \sqrt{10} \cdot \sqrt[3]{\frac{x^2-y^2}{x}}\right)\end{aligned}$$

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Herzlichen Dank für die Hilfe!

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Habs gerechnet und Ergebnis hat gepasst.

Dann habe ich noch folgendes probiert:

1/3 * lg(x-y) + 1/3 *lg (x+y) - 1/3*lgx -1/2=

1/3*lg(x²-y²)/x  - lg10^1/2=

1/3 *lg(x²-y²)/x - lg√10 =

lg (³√x²-y² / √10

Da muss auch stimmen. Also ist es egal ob ich lg10^1/2 verwende oder lg10^-1/2.

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Also ist es egal ob ich \(\lg10^{1/2}\) verwende oder \(\lg10^{-1/2}\)

Nicht so ganz - genauer ist \(-\lg10^{1/2} = + \lg10^{-1/2}\)

Das hast Du auch oben schon falsch gemacht, ich hatte es aber nicht bemerkt :-/

Du schriebst: \(\dots - \frac 12 = \dots - \lg 10^{-1/2}\) das ist zweimal Minus, d.h. einmal zu viel. Richtig ist $$\dots - \frac 12 = \dots + \lg 10^{-1/2}$$und das Ergebnis wäre dann $$\dots = \lg\left( \frac 1{\sqrt{10}} \cdot \sqrt[3]{\frac{x^2-y^2}{x}}\right)$$

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Vielen Dank. Hab es verstanden! Ein fast nie endendes Projekt!