Question

Geben Sie alle Lösungen folgender Gleichungen in”Normalform“  a+bi an:

z^4 = 81   ( z hoch 4)

Comments

Tipp: \(0=z^4-81=(z^2-9)(z^2+9)=(z-3)(z+3)(z^2+9)\).

Answer 1

Hallo

 81=81*e2πi(1+k) daraus nach den Potenzregeln die 4 möglichen Wurzeln ziehen, k=0,1,2,3. und wieder umwandeln oder du hast w=z^2

w^2=81 -> w=+-9, z1=3, z2=-3  z3=√(-9)=3i und z4=-3i (Verbessert nach Hinweis von Spacko, danke)

 .Gruß lul

Comments

Warum 3√i und z₃=z₄?

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Hallo

danke, das  war dumm, ich werde es verbessern ,

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z3=3i und z4=-3i (ohne Wurzel)

Answer 2

Hallo,

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Answer 3

Die reellen Lösungen +3 und -3 müsstest du sofort erkennen, da 3^4=81 ist.

Eine Gleichung 4. Grades hat im Komplexen immer 4 Lösungen.

Für w=z^4 gilt für die Zeiger der Lösungen in der Gauß'schen Zahlenebene, dass die Beträge gleich groß sind und benachbarte Zeiger einen rechten Winkel einschließen.

Nach z_1=+3 kommt also z_2=3i, dann z_3=-3 und z_4=-3i.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4+%3D81