Nullstellen/Polstellen/behebare Lücken gebrochenrationaler Fuktion

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe ist aus der Funktion

\( f(x)=\frac{(x-2)^{3}}{(x-2)(x+3)} \)

Nullstellen, Polstellen und behebbare Lücken zu finden. Diese sind ja recht offensichtlich, da in Linearfaktoren zerlegt.

Problem/Ansatz:

Im Zählerpolynom ist (x-2) drei mal vorhanden. Dadurch, dass (x-2) im Nennerpolynom auch vorhanden ist, ist es ja keine Polstelle sondern eine hebbare Lücke.

Da aber ja (x-2)²     übrig bleibt, dachte ich, dass x=2 trotzdem eine Nullstelle ist. Laut Lösung gibt es aber keine Nullstellen.

Also stellt sich mir die Frage: Wenn an einem Punkt eine hebbare Lücke ist, schließt das, das Vorhandensein einer Nullstelle an diesem Punkt komplett aus?

Answer 1

Einfache Antwort: Ja. Von einer Nullstelle der Funktion darf man natürlich nur dann reden, wenn die Funktion überhaupt an dieser Stelle definiert ist. Und die Funktion f ist eben an der Stelle 2 nicht definiert. Also kann 2 auch keine Nullstelle sein. Es gibt aber eine Funktion f*, die an der Stelle 2 definiert ist, und deren Werte an allen anderen Stellen mit denen von f übereinstimmen. Dazu muss man nur den Term durch (x-2) kürzen. Die hierdurch definierte Funktion ist eine andere Funktion, wenn man die maximale Definitionsmenge nimmt, denn dieser Term ist nun an der Stelle 2 definiert. Diese Funktion hat die Nullstelle 2.

Answer 2

"dachte ich, dass x=2 trotzdem eine Nullstelle ist." Nein, dort ist doch ein Definitionslücke. Diese ist zwar hebbar, aber Lücke ist Lücke.