Zeige, dass |(f(x+1)+f(x-1))/2 - f(x)| <= |f''(x)| für differenzierbares f(x) gilt.

Question

Folgende Aufgabe:

Es sei f: R → R  2-mal stetig differenzierbar. Zeige, dass

| ( f(x+1) + f(x-1) ) / 2 - f(x) | <= | f''(x) |

für alle x∈R gilt. (Die oben gezeigte Gleichung ist bereits von mir zu der Stelle umgeformt werden, weiter weiß ich aber nicht).

Der Term gibt ja in Worte ausgedrückt an, dass der Betrag der Differenz aus dem Durchschnitt von [f(x+1), f(x-1)] und f(x) kleiner, als der Betrag der zweiten Ableitung von f(x) ist. Mein Problem hier ist, dass mir die zweite Ableitung bei der Umformung nichts nützt.

Zudem sich mir die Frage stellt, warum "stetig" in die Aufgabenstellung geschrieben wurde. Ist nicht jede differenzierbare Funktion sowieso stetig? Oder ist das ein Hinweis darauf, dass man mit den Eigenschaften der Stetigkeit arbeiten sollte.

Vielen Dank für jede Hilfe

LG 1student

Comments

Hallo
stetig differenzierbar heisst, dass die Ableitung stetig ist,  du interpretierst das als stetig und differenzierbar, da ist das stetig wirklich überflüssig
lula

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Obiges gilt IMHO nicht für die Funktion \(f(x)=x^4+x^3+x\) an der Stelle \(x=0\)

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Wenn du schreibst, dass du schon Umformungen vorgenommen hast, wäre es schön, die Original-Aufgabe zu kennen. Es sieht nämlich so aus, als ob bis hier schon ein Fehler passiert ist, denn es stimmt so einfach nicht. 

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Hallo,

okay, hier die Originalaufgabe:

f:R->R zweimal stetig db. Es ex. ein c >= 0 mit | f''(x) | <= c für alle

| f(x + 1) − 2f(x) + f(x − 1) | <= 2c.

Ich habe gedacht, ich dividiere durch zwei, sodass <= c oben steht, und zeige danach, dass die Gleichung <= | f''(x) | ist (damit kleiner gleich c folgt). Wahrscheinlich zu voreilig...

Answer 1

Voraussetzung: Die Funktion ist zwei mal stetig differenzierbar, und es existiert eine Konstante c ≥ 0, so dass | f ''(x) | ≤ c für alle reellen Zahlen x.

Zu Zeigen: Für alle x gilt dann | f(x+1) - 2 f(x) + f(x-1) | ≤ 2c.

Stellen wir uns eine konkrete reelle Zahl x vor. Die linke Seite der Behauptung kann man umschreiben zu

| [ f(x+1) - f(x) ]    -    [ f(x) - f(x-1) ]  |.

Die beiden Differenzen kann man als Quotienten mit dem Nenner 1 schreiben, dann kann man sie als Differenzenquotienten für die Intervalle [ x ; x+1 ] bzw. [ x-1 ; x ] identifizieren. Nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung findet man Stellen x₂ bzw. x₁ in den beiden Intervallen, an deren Stellen die Ableitungen mit diesen Differenzenquotienten übereinstimmen. Also erhält man den gleichwertigen Term

| f ' (x₂) - f ' (x₁) | für zwei konkrete reelle Zahlen, die natürlich von x abhängen.

Nun steht zwischen den Betragstrichen kein Differenzenquotient. Aber Anwendung des Mittelwertsatzes und anschließende Multiplikation mit dem Nenner liefert

| f ' (x₂) - f ' (x₁) | = | f '' (x₃) | * |x₂-x₁| für eine Stelle x₃ aus dem Intervall [x₁;x₂].

Anwendung der Voraussetzung und Berücksichtigung der Tatsache, in welchen Intervallen x₁ und x₂ liegen, liefert dann die Behauptung.

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Wow, alles verstanden, vielen vielen Dank.

Liebe Grüße

Answer 2

Hallo

wenn du die Aufgabe anders formulierst dann hast du, es gibt ein ξ in [x-1,x+1] so dass | ( f(x+1) + f(x-1) ) / 2 - f(x) | <= | f''(ξ) |

das wendest du auf | ( (f(x+1)-f/x))/2 - (f(x)-f(x-1))2 )   den Mitelwertsatz und den dann nochmal für f' an.

Gruß lul

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Hi,

der Mittelwertsatz gilt doch aber nur für ein solches ξ, und muss ich es nicht für alle x zeigen? Am besten ich schreibe gleich aber nochmal die Aufgabe im Original rein...