Determinanten ausrechnen von Matrizen

Question

Aufgabe:

Für eine5×5−MatrixAgiltdet(A) = 7.

Geben Sie für die Aufgabenteile b1) bis b4) jeweils die Determinanten der MatrizenB1bisB4an.

Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.b1) Die MatrixB1entsteht aus der MatrixA, indem die3.−te Spalte mit der4.−ten Spaltegetauscht wird.

b2) Die MatrixB2entsteht aus der MatrixA, indem das4−fache der Zahlen der erstenZeile vonAauf die letzte Zeile vonAhinzuaddiert werden.

b3) Die MatrixB3entsteht aus der MatrixA, indemAvon links mit4·I5multipliziertwird, d.h. es istB3= (4·I5)·A(Wie üblich istI5die5×5−Einheitsmatrix.)

b4) Die MatrixB4entsteht aus der MatrixA, indem die letzte Zeile vonAdurch das3−facheder ersten Zeile vonAersetzt wird.

Problem/Ansatz:

Stimmen meine Antworten? -> b1 wird vertauscht, deshalb : -1^1 * 7 = -7 , b2 = Die Determinante bleibt erhalten, 7, b3) Hier denke ich, dass 4 * A -> 28

b4) Die letzte ist auch -7, weil wir nur eine Vertauschung haben.

Answer 1

Aloha :)

Gegeben: \(\text{det}(A)=7\).

b1) Ergebnis \(=-7\).

Die Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn 2 Reihen (Spalten oder Zeilen) vertauscht werden.

b2) Ergebnis \(=7\).

Elementare Zeilen- oder Spaltentransformationen ändern die Determinante nicht.

b3) Ergebnis \(=28\).

Von links wird das 4-fache der Einheitsmatrix an die Matrix A multipliziert. Nach dem Determinanten-Multiplikationssatz, multiplizieren sich die Determinaten: \(4\cdot7=28\).

b4) Ergebnis \(=0\).

Die Matrix enthält zwei voneinander abhängige Zeilen. (Wenn man das 3-fache der ersten Zeile von der neuen letzten Zeile subtrahiert, entsteht eine Nullzeile).