mindestens mindestens..... Ansatz überpürfen

Question

Wie viele Bälle mindestens kontrollieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens einen fehlerhaften Ball zu finden? X sei binomialverteilt mit p = 0,1. Gesucht ist demnach n.

Ansatz:

P(X≥1) = 0,95

1 - P(X = 0) ≥ 0,95 | P(X = 0) | - 0,95

0,05 ≥ P(x=0)   | ändert sich das vorzeichen hier und wenn ja wegen dem minu oder? und kann man das so schreiben?

P (x = 0) ≤ 0,05

0,9ⁿ  ≤ 0,05

log_0,9 (0,05) ≤ n | wird hier das zeichen umgedreht

n ≥ log0,9 (0,05)

Ich verstehe nicht wann genau das zweichen umgedreht wird und wie man es 100% mathematisch richtig schreibt?

Answer 1

ändert sich das vorzeichen hier und wenn ja wegen dem minu oder?

Du formst 1 - P(X = 0) ≥ 0,95 um zu - P(X = 0) ≥ - 0.05. Durch Division mit einer neg. Zahl (-1) dreht sich das Relationszeichen um.

Also 0.05 ≥ P(X = 0)  ⇔  0.05 ≥ 0.9^n

Jetzt z.B. den ln anwenden: ln(0.05) ≥ ln(0.9^n)  ⇔  ln(0.05) ≥ n * ln(0.9)

Nun noch durch ln(0.9) dividieren. Da ln(x) für x ∈ (0,1) aber negativ ist (ln(0.9) ≈ -0.1), musst du wieder das Vorzeichen  umdrehen. Also

ln(0.05) ≥ n * ln(0.9)  ⇔  n ≥ ln(0.05) / ln(0.9) ≈ 28.4

Comments

wir haben noch nicht den ln aber den log kannst du es einmal bitte dafür aufschreiben :)

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wie würde ich den letzten Schritt mit dem log schreiben ohn ln

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Also ln = log_e. Du kannst aber auch jeden andere beliebige Basis > 0 (und ≠ 1) nehmen, z.B. log₁₀(0.05) / log₁₀(0.9).

Oder meinst du mit log_0.9(0.05) ohne die Division?

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warum beleibie Basis?

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 also n * log ₁₀ (0,9) ≥log₁₀ (0,05) | : log₁₀ (0,9)

n ≤ log_10 (0,05) : log _10 (0,9) aufgrund des log (0,9) negativs ist alterniert das realationszeichen. aber muss nicht für n ≤ .. gelten das mindetsens die Frage ist?

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Es gibt das Log-Gesetz log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).

Also kann ich z.B. log₁₄(8) umschreiben zu log₃(8) / log₃(14) oder zu log_0.3(8) / log_0.3(14), der Wert bleibt gleich.

also n * log 10 (0,9) ≥log₁₀ (0,05) | : log10 (0,9)

Vorsicht, hier müsste wie bei mir ≤ stehen, sprich n * log₁₀(0,9) ≤ log₁₀(0,05).

Dann erhältst du auch wie gewünscht n ≥ ... und nicht n ≤ ...

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danke :) wie soll ich die 28,43 aufrunden zu 28 oder zu 29. wie mahct man das richtig??

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Deine n können nur ganzzahlige Werte annehmen. Du hast aber bereits ermittelt, dass, du mindestens ca. 28.43 Versuche durchführen müsstest, auch wenn bspw. irrationale Werte angenommen werden könnten. Also wären 28.42, 28.04, 28, ... zu wenig. Daher immer aufrunden.

Mit n = 28, p=0.1, k ≥ 1 kommst du auf nur 94.8... %.

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danke :)

Wo ist der fehler?

1 - P(x =0) ≥ 0,95

- P(X =0) ≤ -0,05

P(x=0) ≥ 0,05

0,9ⁿ ≥ 0,05

lg (0,9) * n  ≥ lg(0,05)

n ≤ 28,43 |c WARUM IST DAS ZEICHEN HIER ANDERUMß

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Irgendwo wo am anfang muss der felher sein!

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In der zweiten Zeile. Da drehst du irrtümlicherweise schon das Vorzeichen um, obwohl du nur 1 subtrahierst.

1 - P(x =0) ≥ 0,95
- P(X =0) ≥ -0,05
Und dann das VZ umdrehen.

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Ja habe das gesehen vielen Dank!!!

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Wie kann man überpüfen ob die 29 mindestens 95% sind

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Z.B. mit dem TR.

Einfach die kumulierte Binomialvtl. mit n = 29, p = 0.1, k ≥ 1 berechnen.