Question

Wie kann ich überprüfen, ob f gerade oder ungerade ist? $$f(x)=\dfrac{ \left(x-\pi\right)^{2}  }{4}, \quad x\in\left[0,2\pi\right]$$

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Geht es dir um die Symmetriebestimmung?

Answer 1

Die Definitionen für "gerade" und "ungerade" Funktionen setzen voraus, dass die Definitionsmenge symmetrisch zu 0 ist. Das ist hier schon nicht der Fall, die Funktion ist weder gerade noch ungerade. Wenn die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist und die Frage lautet: "Ist der Graph der Funktion symmetrisch zu einer Achse?" dann lautet die Antwort "ja", denn es ist eine quadratische Funktion, und der Graph ist eine Parabel.

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N.B. die Symmetrieachse ist nicht die y-Achse.

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Bei dieser Parabel ist die Symmetrieachse die Gerade mit der Gleichung x = π. Da das Definitionsintervall zu π symmetrisch ist, ist der Graph der Funktion (auch mit dieser Definitionsmenge) zu dieser Achse symmetrisch. Aber eben nicht zur y-Achse, und das müsste für die übliche Definition von "gerade" der Fall sein.

Answer 2

Definition Wikipedia
    eine reelle Funktion ist genau dann gerade, wenn ihr Funktionsgraph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und
f ( x ) = f ( -x )

    ungerade, wenn ihr Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.
f ( x ) = - ( - x )

Test auf gerade in deinem Fall
( x - pi )^2 / 4 = ( -x - pi )^2  / 4
( x - pi )^2 = ( -x - pi ) ^2 | falsch

Test auf ungerade
( x - pi )^2 / 4 = - ( -x - pi )^2  / 4
x^2 - 2pi*x + pi^2 = - ( x^2 - 2pi*x + pi^2 )
x^2 - 2pi*x + pi^2 = - x^2 + 2pi*x - pi^2  | falsch

Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
Funktionsgraph

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Für x∈D mit x≠0 ist f(-x) nicht definiert.