Integral ln(x) mal 9x^2+2 : Partielle Integration von bestimmten Integral

Question

Hallo, ich habe folgendes Integral, dass ich ohne Taschenrechner lösen muss:

∫ ln(x) • (9x² + 2) dx

Mit der unteren Grenze 1 und der oberen Grenze 2.

Laut Taschenrechner ist das Ergebnis

28 • ln(2) - 9. Ich habe es mehrmals durchgerechnet und bekomme auch immer 28 • ln(2), aber dann hängt mal ein -17 dran, oder -33, -14 und alles mögliche, außer -9 :D

Ich habe in der Aufgabe die Partielle Integration angewendet und (9x² + 2) als den abgeleiteten Teil angenommen.

Ich glaube, dass der Fehler irgendwo beim Grenzen einsetzten liegt und wollte daher noch mal fragen, wo man denn nach dem Integrieren genau die Grenzen einsetzt? Bin da jetzt ziemlich unsicher...

Danke schon mal im Voraus!

Answer 1

Vergleich es doch mal mit meiner Rechnung:

Text erkannt:

\(\int_{1}^{2}\left(9 x^{2}+2\right) \cdot \ln (x) d x \)

$$ \begin{array}{rl} {} & {u=\ln (x) u^{\prime}=\frac{1}{x}} \\ {v} & {=3 x^{3}+2 x v^{\prime}=9 x^{2}+2} \end{array} $$
\( =\left[\left(3 x^{3}+2 x\right) \cdot \ln (x)\right]_{1}^{2}-\int \limits_{1}^{2}\frac{1}{x}\left(3 x^{3}+2x\right) d x \)
\( =[(24+4) \cdot \ln (2)-0]-\left[x^{3}+2 x\right]_{1}^{2} \)
\( =28 \cdot \ln (2)-\left(8+\frac{14}{4}-(1+2)\right) \)
\( =28 \cdot \ln (2)-9 \)

Comments

Leider habe ich noch nicht so ganz verstanden, wo das 1/x, also u‘ verschwindet bzw. warum. Hätte man nicht eigentlich noch im ersten Schritt stehen u • v - ∫ u‘ • v ?

Da war wohl mein Fehler, weil ich dann weiter integriert habe.

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Unter "Text erkannt" habe ich es Dir noch mal aufgeschrieben. Das kürzt sich weg.