Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität.

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie auf Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität. Welche der folgenden Relationen definieren eine Ordnungsrelation auf N?

(a) m ≤ n: ⇐⇒ |m−2/3| ≤ |n−2/3|

(b) m ≤ n: ⇐⇒ ∃k∈N: m/n =2^k.

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier am besten vor?

Answer 1

(a) m ≤ n: ⇔ |m−2/3| ≤ |n−2/3|

Das linke ≤-Zeichen ist vorerst nicht identisch mit unserem herkömmlichen ≤-Zeichen. Man schreibe es lieber abstrakt: ~

m~n (m "≤" n) soll bedeuten: |m−2/3| ≤ |n−2/3|

(i) m~m (m "≤" m) soll bedeuten: |m−2/3| ≤ |m−2/3| Das stimmt, also ist ~ bzw. "≤" reflexiv.

(ii) 1/3~1 (1/3 "≤" 1)  und 1~1/3 (1 "≤" 1/3, stimmt wegen der nächsten Zeile!) soll bedeuten:   

|1/3−2/3| ≤ |1−2/3|     und |1−2/3| ≤ |1/3−2/3|   ist ok!!!

Falls diese Relation antisymmetrisch wäre, dann wäre 1/3 = 1. Das ist falsch.

(iii) Sei m~n (m "≤" n) und n~z (n "≤" z)  bdeutet:

|m−2/3| ≤ |n−2/3| und |n−2/3| ≤ |z−2/3|, also |m−2/3| ≤ |z−2/3|, also ist ~ bzw. "≤" transitiv.

Insgesamt liegt keine Ordnungsrelation vor, wegen der fehlenden Antisymmetrie.

(b) m ≤ n: ⇔ ∃k∈N: m/n =2^k

Hier soll abstraktes Denken geübt werden. Das linke ≤-Zeichen entspricht unserem ≥-Zeichen. Um Irritationen zu vermeiden, schreibe einfach wieder ~.

(i) m~m (m "≤" m) soll bedeuten: m/m = 2k   Das stimmtmit k=0∈ℕ, also ist ~ bzw. "≤" reflexiv.

(ii) Seien k,l ∈N mit m/n = 2^k und n/m = 2^l. Multipliziere:

\( \frac{m*n}{n*m} \) = 2^k+l ⇒ k+l = 0. Weil beide natürlich sind, folgt k = l = 0. ⇒ m/n=1 und n/m=1 ⇒ m=n. Also ist ~ antisym.

(iii) Sei m~n (m "≤" n) und n~z (n "≤" z)  bdeutet: m/n = 2^k und n/z = 2^l mit geeigneten

k,l ∈N ⇒\( \frac{m*n}{n*z} \) = 2^k+l

\( \frac{m}{z} \) = 2^k+l, damit ist die Transitivität bewiesen.

Insgesamt liegt eine Ordnungsrelation vor.