Untervektorraum über einem beliebigen Körper

Question

Aufgabe \( 2 . \) (a) Entscheiden Sie, welche der folgenden Teilmengen ein Untervektorraum von \( K^{3} \) ist.

(i)

\( U_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \in K^{3} | x+y-z=0\right\} ; K \) beliebiger Körper.

Ich nehme mal an, es gibt einen Körper über dem U1 nicht abgeschlossen ist, aber: Wie geht man an die Aufgabe am besten systematisch ran? Wie kommt man schnell auf die Lösung?

Comments

Was meinst du mit "nicht abgeschlossen"? Ich kann eines verraten: egal welcher Körper K ist, U_1 ist ein Unterraum.

Kennst du das sogenannte Unterraumkriterium? Mit diesem kommst du sehr schnell auf die Lösung.

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Danke erst einmal für deine Antwort. Also: Ja, klaro kenn ich das, und ich weiß auch, wie man damit zeigen kann, dass U1 ein UVR ist. Nur, für mich hat sich das mit dem "K ist beliebiger Körper"  nach einer Falle angehört :D

Woher weißt du, dass es über einem beliebigen Körper gilt? Lässt sich da mit den Körperaxiomen argumentieren?

Answer 1

Du kannst doch mit den Axiomen argumentieren, die ja in

jedem Körper gelten.

Wenn etwa (x,y,z) und (a,b,c) in U1 sind, dann gilt

x+y-z=0 und a+b-c=0 und aus sowas wie 0+0=0 kannst du

dann herleiten  (x+y-z) + (a+b-c) =0

und mehrfache Anwendung der Assozziativität und

Kommutativität der Addition und sowas wie

- (z+c) = -z - c  bekommst du

(x+a) + (y+b) - (z+c) = 0

also ist (x+a,y+b,z+c) auch in U1.

Comments

Hast recht, danke!