Preispolitik eines Monopolisten

Question

Ein Unternehmen besitzt aufgrund eines Patents ein Monopol auf einen Wirkstoff, der von der Pharmaindustrie nachgefragt wird. Die Nachfragefunktion nach diesem Produkt lautete bei einem Preis p: D(p): x= 200e^-0.01p  0<x<200

Die Produktionskosten sind eine lineare Funktion der Ausbringungsmenge x:

C(x)= 1500+ 50x

a) Welchen Gewinn erzielt dass Unternehmen, wenn es seinen Erlös maximiert?

b) Welchen Gewinn kann das Unternehmen maximal erzielen?

Comments

Stelle D(p) nach p um

E(x)= p(x)*x

E'(x)= 0

x= ...  = xM

G(x) =E(x)-K(x) = p(x)*xM -K(xM) = ...

G(x) = E(x)-K(x)

G'(x) = 0

x= ...

G(x)= ...

Answer 1

Gewinn = Erlös - Kosten

Erlös = Menge mal Preis

Menge: steht oben als D(p)

Kosten: steht oben als C(x)

Answer 2

Preis = p
Nachfrage : x = 200e^-0.01p  0<x<200
Gestehungskosten
C (x) = 1500+ 50x

a) Welchen Gewinn erzielt dass Unternehmen, wenn es
seinen Erlös maximiert?
x = 200e^-0.01p
E = p * ( 200 * e^(-0.01*p))
Ableitung nach der Produktregel
E ´= -e^(-0.01p) * ( 2 * p - 200 )
Stelle mit waagerechter Tandente
-e^(-0.01p) * ( 2 * p - 200 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
2p - 200 = 0
p = 100 ( Preis )

x = 200e^(-0.01p) ( Nachfrage )
x = 200 * e^(-0.01* 100)
x = 200 * (e^-1)
x ≈ 75 Stück

E = 100 * 75 = 7500

C (x) = 1500+ 50x ( Herstellungsosten )
C ( x ) = 1500 + 50 * 75
C = 5250

Gewinn = 7500 - 5250 = 2250

b) Welchen Gewinn kann das Unternehmen maximal erzielen?

Erlös = p * ( 200 * e^(-0.01*p))
Nachfrage x  = 200e^(-0.01p) ( Stück )
Kosten = 1500 * 50 * x
Gewinn =  Erlös minus Kosten
Gewinn = p * ( 200 * e^(-0.01*p)) minus
( 1500 + 50 * 200e^(-0.01p) )
Gewinn ´( p ) = e^(-0.01p) * ( 2p - 300 )
Stelle mit waagerechter Tangente
e^(-0.01p) * ( 2p - 300 ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
2p - 300 = 0
p = 150

Einsetzen
Gewinn ( 150 ) = 2962.60

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