Aufgabe:
Ich betrachte die Abbildung \(f:\ \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}, \ (x,y)\mapsto \ xy-x^2y^2\).
Gesucht sind nun die kritischen Punkte und diese sollen dann charakterisiert werden.
Ansatz:
Gradient: \(\text{grad}(f(x,y))=\begin{pmatrix}y-2xy^2\\x-2x^2y \end{pmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix} \). Also erhalte ich ein nichtlineares zu lösendes Gleichungssystem:
\((1)\quad y-2xy^2=0\)
\((2)\quad x-2yx^2=0\)
Für \(x=0\) ist \(y=0\), bzw. für \(y=0\) ist auch \(x=0\), sodass man einen ersten kritischen Punkt \( (0,0)\) hat.
Für \(x,y\neq 0 \) erhalte ich:
\((1)\quad y-2xy^2=0\)
\((2)\quad x-2yx^2=0\) bzw. dann
\((1)\quad 1-2xy=0\)
\((2)\quad 1-2yx=0\), also \(y=\frac{1}{2x} \). Also ist \((x,y)=(\alpha,\frac{1}{\alpha})\) eine weitere kritische Punkt-(Menge).
Hesse-Matrix: \(Hf(x,y)=\begin{pmatrix}-2y^2 & 1-4xy\\1-4xy & -2x^2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2} \)
Für (x,y)=(0,0) erhalte ich \(Hf(0,0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2} \). Charakteristisches Polynom: \(P(t)=(t-1)(t+1)\), sodass diese Matrix indefinit ist, d.h \((0,0) \) ist für \(f\) ein Sattelpunkt.
PROBLEM:
Für \((x,y)=(\alpha,\frac{1}{2\alpha})\) erhalte ich \(Hf(\alpha,\frac{1}{2\alpha})=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2\alpha^2} & -1\\-1 & -2\alpha^2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{2,2} \). Charakteristisches Polynom: \(P(t)=t(t+2\alpha^2+\frac{1}{2\alpha^2})\), sodass diese Matrix indefinit ist, d.h \((\alpha,\frac{1}{2\alpha}) \) ist für \(f\) ein Sattelpunkt.
Dieses Resultat finde ich verwirrend, denn wenn ich mal die obige Funktion plotten lasse, so bekomme ich eine geschwungene Fläche, die auf der Kurve \(\frac{1}{2\alpha} \) maximale Werte animmt.... Was stimmt denn jetzt und wiso?
