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Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Unternehmens
$$ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}^{2}+80 x_{1} x_{2}+3 x_{2}^{2} $$
wobei \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren \( A \) und \( B \) bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 85 bzw. 52 Geldeinheiten. Vom Endrodukt sollen 2626 Mengeneinhertigt werden. Für die Produktionkosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren \( A \) und \( B \) existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle.

Wie hoch sind in dieser die Kosten?


a) 869.50
b) 990.54
c) 811.91
d) 494.49
e) 731.07



Problem/Ansatz:

Ich komm nicht auf die Lösung, da ich nicht weiß wie man die Gleichungen auflöst. Normalerweise fällt wenigstens eine variable raus, nur ist das hier nicht der Fall. Würde mich über Hilfe freuen!

Avatar von

Hallo
du hast doch 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten und alle kommen nur ohne Potenz vor, die kann man doch lösen.
Schreib mal deine lagrangefkt und die Ableitungen auf.
Gruß lul

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Wir haben als Nebenbedingung:$$2626\stackrel{!}{=}F(x_1,x_2)=3x_1^2+80x_1x_2+3x_2^2$$und wollen die Kosten$$K(x_1,x_2)=85x_1+52x_2$$minimieren. Wir suchen eine Lösung im 1-ten Quadranten, also mit \(x_1,x_2\ge0\). Die Lagrange-Funktion ist schnell zusammengebaut:$$L(x_1,x_2,\lambda)=85x_1+52x_2-\lambda\left(3x_1^2+80x_1x_2+3x_2^2-2626\right)$$Wir bilden alle 3 partiellen Ableitungen und setzen diese \(=0\):

$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x_1}=85-\lambda(6x_1+80x_2)$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial x_2}=52-\lambda(80x_1+6x_2)$$$$0\stackrel{!}{=}\frac{\partial L}{\partial\lambda}=3x_1^2+80x_1x_2+3x_x^2-2626$$Wir nutzen die ersten beiden Gleichungen, um \(\lambda\) loszuwerden:

$$\left.\begin{array}{l}\lambda(6x_1+80x_2)=85\\\lambda(80x_1+6x_2)=52\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\frac{\lambda(6x_1+80x_2)}{\lambda(80x_1+6x_2)}=\frac{85}{52}$$$$\Rightarrow\quad6x_1+80x_2=\frac{85}{52}(80x_1+6x_2)=\frac{1700}{13}x_1+\frac{255}{26}x_2$$$$\Rightarrow\quad156x_1+2080x_2=3400x_1+255x_2$$$$\Rightarrow\quad1825x_2=3244x_1$$$$\Rightarrow\quad x_2=\frac{3244}{1825}x_1$$Das setzen wir in die dritte Gleichung ein:$$0=3x_1^2+80x_1\cdot\left(\frac{3244}{1825}x_1\right)+3\left(\frac{3244}{1825}x_1\right)^2-2626$$$$x_1^2\left(3+80\cdot\frac{3244}{1825}+3\cdot\frac{3244^2}{1825^2}\right)=2626$$$$x_1=4,120292$$Eingesetzt in die Formel für \(x_2\) finden wir als Lösung:$$x_1=4,120292\quad;\quad x_2=7,323960$$Die Kosten für die Herstellung belaufen sich auf:$$K_{\text{optimal}}=85x_1+52x_2=\boxed{731,07}$$

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Vielen Dank! Sehr nachvollziehbar.

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Hier eine Kontroll-Lösung von meinem Freund Wolfram.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+85x%2B52y+with+3x%5E2%2B80xy%2B3y%5E2%3D2626%2Cx%3E%3D0%2Cy%3E%3D0&t=crmtb01

min{85 x + 52 y|3 x^2 + 80 x y + 3 y^2 = 2626 ∧ x>=0 ∧ y>=0}≈731.071 at (x, y)≈(4.12029, 7.32396)

Wie weit kommst du den selber. Hast du die Lagrange-Funktion aufgestellt und die partiellen Ableitungen gebildet?

Avatar von 488 k 🚀

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