Question

Für eine reelle Zahl x bezeichnen wir mit [x] = max{z ∈ Z : n ≤ x} das größte Ganze
von x. Sei nun K = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Wir definieren die Operationen ⊕, : K×K → K
durch
m ⊕ n := m + n − 6 [m + n/6]

m * n := m · n − 6 [m · n/6]

Handelt es sich bei (K, ⊕, * ) um einen Körper? Begründen Sie Ihre Antwort.

Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Comments

Es gibt keinen Körper mit genau sechs Elementen.

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Beispielsweise haben 2 und 3 kein multiplikatives Inverses in K.

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Könntest du mir vielleicht noch erklären warum? Ich seh das nicht sofort auf Anhieb

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Hallo

du musst das ja nicht "auf Anhieb" sehen, sondern einfach nachrechnen.

Gruß lul

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Du kannst auch folgendermaßen argumentieren: Wenn K ein Körper sein wollte, müsste (K\{0},*) eine abelsche Gruppe sein. Nun ist aber 2*3=0, d.h. K\{0} ist bzgl. * nicht abgeschlossen, kann also auch keine Gruppe bilden.

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@lul, dass ist ja mein Problem. Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wo ich bei der Aufgabe anfangen soll.

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Tipp: Erstelle eine Verknüpfungstafel bzgl. *.

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Hallo

 setz doch mal in 2*n nacheinander 0 bis 5 ein kommt da irgendwann 1 raus?

lul

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Nein, kommt es nicht

Answer 1

Verbessere mal die Definition! So?    [x] = max{z ∈ ℤ : z ≤ x} 

m ⊕ n := m + n − 6 [m + n/6]

1 ⊕ 0 := 1 + 0 − 6 [1 + 0/6] = 1 - 6 ∉ K

D.h.  (K, ⊕, * ) ist nicht abgeschlossen bzgl. ⊕. Ein Körper muss aber abgeschlossen sein!

Da die Aufg. falsch abgeschrieben war und es richtig heißt:

m ⊕ n := m + n − 6 [(m + n)/6]

nimm die Plutifikation:

2*2 = 4 - 6·0 = 4

2*5 = 10 - 6·1 = 4

⇒ 2=5

Comments

Danke für deine Erklärung. Kannst du mir vielleicht noch erklären, wie du auf die -6 kommst?

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[1+0/6] = [1] = 1

-6*1 = -6

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Hallo Helmus, ich bemerke gerade, das ich bei der Aufgabenstellung die Klammern vergessen habe, und dadurch ich jetzt verwirrt bin. :)

In den eckigen Klammern steht (m+n)/6

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Dann nimm die Plutifikation:

2*2 = 4- 6·0 = 4

2*5 = 10 -6·1 = 4

⇒ 2=5