Gradient der Funktion f(x, y)=x^2 -e^ (x^{2}+y^{2} ) bestimmen

Question

Es sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ f(x, y)=x^{2}-e^{x^{2}+y^{2}} $$
gegeben.
(a) Berechnen Sie den Gradienten von \( f \)

(b) Bestimmen Sie die Hesse – Matrix.

Danke !!!

Answer 1

Hallo,

 Aufgabe a):

\( f(x, y)=x^{2}-e^{x^{2}+y^{2}} \)

\( f_{x}=2 x\left(-e^{x^{2}+y^{2}}+1\right) \)
\( f_{y}=-2 y e^{x^{2}+y ^2} \)
\( g r a d(f)=\left(\begin{array}{c}{f x} \\ {f_{y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2 x\left(-e^{x^{2}+y^{2}}+1\right)} \\ {-2 y e^{x^{2+y^2}}}\end{array}\right) \)

Aufgabe b):

\( H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{ll}{f_{x x}} & {f_{x y}} \\ {f_{y x}} & {f y y}\end{array}\right) \)
\( f_{x x}=2-2 e^{x 2+y^{2}}\left(1+2 x^{2}\right) \)
\( f x_{y}=f y_{x}=-4 x y e^{x^2 y^2} \)
\( f_{y y}=-2 e^{x^2+y^2}(1+2 y^2) \)
\( H_{x y}=\left(\begin{array}{cc}{2-2 e^{x^2+y^2}\left(1+2 x^{2}\right)} & {-4 x y e^{x^{2}+y^{2}}} \\ {-4 x y e^{x^{2}+y^2}} & {-2 e^{x^{2}+y^{2}\left(1+2 y^{2}\right)}}\end{array}\right) \)