Parabelgleichung Brennpunkt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Parabelgleichung

y=1/3(x−3)^2+2

a)Ermitteln sie den Halbparameter der parabel und den Brennpunkt F?
b)Wie lautet die Kreisgleichung des Schmiegekreises?

Ist der Halbparameter der Radius des Schmiegekreises?

Kann mir jemand die Aufgaben rechnen



Danke für jede Hilfe

Comments

Sieht die Gleichung so aus?

\(y=\frac{1}{3}(x-3)^2+2\)

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Ja dass ist die Gleichung

Answer 1

a)

Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (3, 2).

Der Koeffizient a der quadratischen Gleichung ist \( \frac{1}{3} \) und die y-Koordinate des Brennpunkts darum 2 + 1/(4a) = 2,75

Aus f = 2,75 folgt die Lösung x = 3 ± \( \frac{3}{2} \) d.h. der Halbparameter ist 1,5

b)

Kreis um den Brennpunkt mit Radius \( \frac{3}{4} \) also Kreisgleichung (x-3)² + (y-2,75)² = 0,75²

Comments

Danke für die Antwort mir ist immer noch nicht ersichtlich wie man den Halbparameter berechnet.Kannst du dies etwas ausführlicher darstellen.

Die x Koordinate ist 1/3 des Brennpunkts?

Wie erhält man die Kreisgleichung des Schmiegekreises

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Zeichne am Besten mal die Parabel auf (mit Koordinatensystem), dann wird es klarer.

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Wie müssen das rechnerisch lösen

Kannst du bitte ausführlich erklären anhand des Beispiels wie man den Halbparameter und den Brennpunkt der Parabel berechnet

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Es ist ja rechnerisch gelöst. Aber wenn Du es nicht verstehst, hilft die genannte Zeichnung.

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Kannst du es etwas ausführlicher erklären also deine rechenschritte.habe es gezeichnet mir wird trz net klar.bitte ausführlich erklären wäre dir dankbar

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Was von meinen vier Sätzen in der Antwort hast Du denn nicht verstanden?

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Für die y-koordinate eines brennpunkts einer parabel gilt also:

2+1/4a

Verstehe nicht wie du aber auf die x-koordinate des Brennpunkts kommst

Aus f = 2,75 folgt die Lösung x = 3 ± 3/2 d.h. der Halbparameter ist 1,5

Kreis um den Brennpunkt mit Radius 34 also Kreisgleichung (x-3)2 + (y-2,75)2 = 0,5625

Wie kommst du jetzt genau auf den Halbparameter kannst du bitte die letzten zwei schritte genauer erklären.

und wie kommst du auf den radius r=0,5625

und was bedeutet  x = 3 ± 3/2

Die zeichung hilft mir schon aber der rechenweg ist für mich entscheidend und ich verstehe nicht wie du das gerechnet hast.

ich weiß deine mühe zu schätzen

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Für die y-koordinate eines brennpunkts einer parabel gilt also:
2+1/4a

Nein, es gilt das was ich in meinem zweiten Satz zur Aufgabe 1 geschrieben habe. Du hast die Klammern vergessen. Um auf die y-Koordinate des Brennpunkts zu kommen, muss man immer 1/(4a) zur y-Koordinate des Scheitelpunktes addieren.

Wie kommst du jetzt genau auf den Halbparameter

Setze die quadratische Gleichung gleich 2,75. Die Lösungen sind 1,5 (in meiner Skizze grün eingezeichnet) und 4,5 d.h. der Halbparameter (in meiner Skizze die waagrechte grüne Line) ist 1,5.

wie kommst du auf den radius r=0,5625

Ich komme nicht auf Radius 0,5625. Ich habe geschrieben, Radius \( \frac{3}{4} \).

In der Kreisgleichung steht der Radius im Quadrat.

was bedeutet  x = 3 ± 3/2

Das sind die beiden Lösungen für x.

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Jetzt kann man sich noch fragen, wie man auf y_Brennpunkt = y_{Scheitelpunkt} + \( \frac{1}{4a} \) kommt.

Entweder weiss man es, oder man findet es in Lehrbuch/Formelsammlung, oder man erkennt, dass bei y_Brennpunkt die Tangentensteigung ±45 Grad ist d.h. die erste Ableitung der ausmultiplizierten Parabelgleichung gleich ±1. Das plusminus kann in der Folge ignoriert werden, weil die Parabel symmetrisch ist. Bei y_{Scheitelpunkt} ist die Steigung 0 d.h. die x-Koordinate des Scheitelpunkts (und des Brennpunkts) ist \(- \frac{b}{2a} \) und die x-Koordinate der Parabel beim y-Wert des Brennpunkts ist \( \frac{1-b}{2a} \). Will man nun die Differenz der y-Koordinaten von Brenn- und Scheitelpunkt wissen, rechnet man

a(\( \frac{1-b}{2a} \))² + b(\( \frac{1-b}{2a} \)) + c - [a(\(- \frac{b}{2a} \))² + b(\(- \frac{b}{2a} \)) + c] = \( \frac{1}{4a} \)