Wurzel. Grenzwert der Funktion f(x):= (x-√(x^2-4x+9) ) für x gegen unendlich

Question

\( \lim\limits_{x\to\infty} \)(x-\( \sqrt{x^2-4x+9} \) )   (1)

= \( \frac{(x-( \sqrt{x^2-4x+9} ))(x+( \sqrt{x^2-4x+9} ))}{(x+( \sqrt{x^2-4x+9} ))} \)  (2)

= \( \frac{4x-9}{(x+( \sqrt{x^2-4x+9} ))} \)  (3) = \( \frac{x(4-\frac{9}{x})}{x(1+ \sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{9}{x^2}} )} \)  (4)

→ \( \frac{4}{2} \) = 2 (x→∞)

Hallo, ich könnte bei der Aufgabe ein wenig Hilfe gebrauchen, denn ich verstehe gerade nicht, wie man von 3 auf 4 kommt, würde mich über eine kurze Schritt für Schritt Erklärung freuen. Genauer verstehe ich nicht, wo das x² aus der Wurzel in (4) abhanden gekommen ist. 

Freue mich über eure Hilfe. :)

Answer 1

= \( \frac{4x-9}{(x+( \sqrt{x^2-4x+9} ))} \)  (3)

In der Wurzel im Nenner x^2 ausklammern

= \( \frac{4x-9}{(x+( \sqrt{x^2*(1-4/x+9/x^2)} ))} \)  (3a)

Dann die Wurzel aus dem x^2 ziehen (ist ja positiv)

= \( \frac{4x-9}{(x+( x*\sqrt{1-4/x+9/x^2} ))} \)  (3b)

Jetzt im Zähler und Nenner x ausklammern gibt

= \( \frac{x(4-\frac{9}{x})}{x(1+ \sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{9}{x^2}} )} \)  (4)

Comments

Jetzt im Nenner x ausklammern gibt

im Zähler und im Nenner

---

Danke, ich war auf den Nenner konzentriert.

Wird korrigiert.

---

Dankeschön mathef und Grosserloewe! :))

Hab's verstanden!^^

Answer 2

Hallo,

im Nenner wurde x^2 ausgeklammert.(Beim Wurzelausdruck)

dann die Wurzel aus x^2 gezogen , ist x.

dann im Zähler und Nenner x ausgeklammert  und gekürzt.