Rechnen Sie mit Allen Zwischenschritten angeben: 36*41 im Z5

Question

Rechnen Sie :

a) \( 36 * 41 \) im \( \mathrm{Z}_{5} \)
b) \( 36-141 \) im \( \mathrm{Z}_{\mathrm{s}} \)
c) \( -6 * 36-141 \) im \( \mathrm{Z}_{5} \)

Geben Sie alle Zwischenschritte an.

Answer 1

Es gilt dass $$36\equiv 1 \pmod 5 \ \text{ und } \ 41\equiv 1\pmod 5$$ Daher haben wir folgendes: $$36\cdot 41 \equiv 1\cdot 1 \pmod 5 \equiv 1 \pmod 5$$

Ähnlich machen wir auch die Rechnung von b und c.

Answer 2

zur Lösung dieser Aufgabe empfiehlt es sich die Faktoren, Subtrahenden und Minuenden bereits in Zwischenschritten immer wieder modulo \(m\) zu rechnen. In Deinem Fall ist \(m=5\) und \(\mathbb{Z}_m=\{0,1,2,3,4\}\). Das Ergebnis der einzelnen Rechnungen wird also einen dieser \(5\) Werte annehmen.

a.) \(36\equiv 1\mod 5\wedge 41\equiv 1\mod 5 \) und deshalb \(36\cdot 41\equiv 1\cdot 1\mod 5 \equiv 1\mod 5\).

b.) \(36\equiv 1\mod 5\wedge 141\equiv 1\mod 5\) und deshalb \(36-141\mod 5\equiv 1-1\mod 5\equiv 0\mod 5\).

c.) \(-6\equiv 4\mod 5\wedge 36\equiv 1\mod 5\wedge 141\equiv 1\mod 5\) und deshalb \(-6\cdot 36-141 \equiv 4\cdot 1-1\mod 5\equiv 3\mod 5\).

Du kannst die Ergebnisse natürlich auch erst ausrechnen und dann modulo rechnen.

André

Comments

Mit den betragsmäßig kleinsten Repräsentanten \(\left\{-2,-1,0,1,2\right\}\) geht das hier aber wesentlich einfacher...

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Das ist Geschmackssache. Ich bevorzuge die positiven Werte. Die Aufgabe ist an sich relativ "einfach" zu lösen.

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Ok, dann eben mit positivem Ergebnis:

$$ -6 \cdot 36 - 141 \equiv -1 \cdot 1 - 1 \equiv -2 \equiv 3 \mod 5. $$