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Fortsetzen von Vektorraumhomomorphismen
Um die Existenz eines Vektorraumhomomorphismus \(\varphi\) mit den gegebenen Eigenschaften zu überprüfen, müssen wir sicherstellen, dass die Bilder der Vektoren die Linearkombinationen einhalten und dass die Matrix, die \(\varphi\) beschreibt, konsistent ist.
Teil (a): Existiert ein Homomorphismus \(\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \(\varphi(x_{1})=y_{1}, \varphi(x_{2})=y_{2}, \varphi(x_{3})=y_{3}, \varphi(x_{4})=y_{4}\)?
1. Zunächst formen wir die Gleichungen als Matrixdarstellung um:
\( A \cdot \varphi = B \)
wobei \(A\) die Matrix der \(x_i\) Vektoren und \(B\) die Matrix der \(y_i\) Vektoren ist:
\(
A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 0 & -2 \\
1 & 4 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\quad \text{und} \quad
B = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3 & -1
\end{bmatrix}
\)
2. Jetzt prüfe, ob das System \( A \cdot C = B \) eine Lösung hat, wobei \(C\) eine \(4 \times 3\) Matrix ist.
3. Wenn \(C\) existiert und eindeutig ist, dann ist \(\varphi\) eindeutig bestimmt.
4. Führe den Gauß'schen Algorithmus durch, um die Konsistenz des Gleichungssystems zu überprüfen.
Nach Prüfung durch den Gauß-Algorithmus sehen wir, dass eine widerspruchsfreie Lösung für alle Vektoren existiert. Daher existiert \(\varphi\).
Um Basen von \(\text{Im } \varphi\) und \(\text{Ker } \varphi\) zu bestimmen:
-
Ker \(\varphi\): Das Kern des Homomorphismus ist die Menge der Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
-
Im \(\varphi\): Das Bild des Homomorphismus ist die Menge der Vektoren, die als Bild der \(y_i\)-Vektoren auftreten.
Teil (b): Existiert ein Homomorphismus \(\varphi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) mit \(\varphi(y_{1})=x_{1}, \varphi(y_{2})=x_{2}, \varphi(y_{3})=x_{3}\)?
1. Analog prüfen wir das System:
\(
B \cdot \varphi = A
\)
2. Aber hier besteht das Problem der Dimensionswidersprüchlichkeit, da die Dimension des Bildraums \(\mathbb{R}^4\) größer ist als die Dimension des Quellraums \(\mathbb{R}^3\).
3. Daher kann diese Abbildung nicht surjektiv sein, es existiert kein solcher Homomorphismus.
Teil (c): Existiert ein Homomorphismus \(\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \(\varphi(x_{1})=y_{1}, \varphi(x_{2})=y_{4}, \varphi(x_{3})=y_{5}, \varphi(x_{4})=y_{3}\)?
1. Erstelle das Lineare Gleichungssystem:
\(
A \cdot C' = B'
\)
wobei
\(
A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 0 & 0 & -2 \\
1 & 4 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\quad \text{und} \quad
B' = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 6 & -1 \\
0 & -1 & 4 & 3
\end{bmatrix}
\)
2. Führe den Gauß'schen Algorithmus durch, um die Konsistenz des Gleichungssystems zu überprüfen.
Nach Prüfung zeigt sich, dass die Bedingungen konsistent sind und eine Lösung existiert.
-
Ker \(\varphi\): Durch Lösen des homogenen Systems wird das Kern des Homomorphismus gefunden.
-
Im \(\varphi\): Da die Matrix \(B'\) 3 Vektoren beinhaltet, die eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) bilden können, ist \(\text{Im } \varphi\) \(\mathbb{R}^3\).
Insgesamt finden wir, dass der Homomorphismus in (a) und (c) existiert, wobei im Fall (b) der Vektorraumhomomorphismus wegen der dimensionsbedingten Widersprüchlichkeit nicht existiert.
