Flächeninhalt eines zufälligen Dreiecks

Question

Am Rand eines Einheitskreises werden zufällig drei Punkte ausgewählt. Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Flächeninhalts des so definierten Dreiecks?

Comments

Am Rand eines Einheitskreises werden zufällig drei Punkte ausgewählt.

Wie?

---

Wie?

Lach. Natürlich zufällig :) Haha

Aber im Ernst. Da wir einen Punkt im Kreis (mit dem Radius r = 1) immer auf 3 Uhr drehen könnten bräuchten wir zu den anderen beiden Punkten einfach nur 2 Winkel angeben. Alternativ gibt man die 3 Winkel an in welcher Richtung vom Mittelpunkt die Punkte jeweils liegen.

Das erste wäre eine schöne zweidimensionale Verteilung, die man auch recht gut darstellen kann denke ich.

---

Keine analytische Lösung, darum als Kommentar: Wenn ich das mit einer Million Dreiecken simuliere, kommt der Rechner auf einen durchschnittlichen Flächeninhalt von 0,477 mit einer Varianz von 0,147.

Ich bin in einem anwendungsorientierten Feld tätig und rechne eher keine Dreiecke in Kreisen aus. Aber wenn ich mich richtig erinnere, war da mal etwas mit Michail Zelikin, den ich vor einer halben Ewigkeit mal persönlich getroffen hatte. Es gibt sicher Leute hier die mehr dazu sagen können.

---

bräuchten wir zu den anderen beiden Punkten einfach nur 2 Winkel angeben.

Oder man gibt für jeden der anderen Punkte die Entfernung vom ersten Punkt und ein Vorzeichen an. Kommt man dann zur gleichen Wahrscheinlichkeitsverteilung wie bei deinem Vorschlag?

---

Es braucht kein Vorzeichen. Entweder nimmt man vom ersten Punkt aus jeweils einen Winkel von Null bis 2 Pi oder eine Strecke von Null bis 2 Pi......

---

oder eine Strecke von Null bis 2 Pi

Punkte, die vom ersten Punkt eine Entfernung von 2π haben, liegen nicht auf dem Kreis. Die maximale Entfernung ist 2, weil das der Druchmesser des Kreises ist.

---

....dem Kreisbogen entlang.

Zu deiner anderen Frage "wie", ich stelle mir drei Punkte auf einem Kreis so vor:

---

Hat das vlt. irgendwas mit dem bertrand paradox zu tun?

Google mal vlt. hilft das.

---

@janweitzel Ja, darauf wollte ich wohl hinaus. Anscheinend bin ich nicht der erste gewesen, der das Problem erkannt hat.

---

ich habe mal eine Möglichkeit durchgerechnet!

Answer 1

Verfahren "wie?":   (1,0) wählen, dann 2. Punkt, dann 3. Punkt (wie döschwo).

A(Dreieck)

= 1/2 * I (e^ix - e⁰) x ((e^iy - e⁰) I

=1/2 * I  [ \( \begin{pmatrix} cos x\\sin x\\0 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) ]  x   [\( \begin{pmatrix} cos y\\sin y\\0 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) ]  I

= 1/2 * I  \( \begin{pmatrix} cos x-1\\sin x\\0 \end{pmatrix} \)   x  \( \begin{pmatrix} cos y-1\\sin y\\0 \end{pmatrix} \) I

= 1/2 * I \( \begin{pmatrix}0\\0\\(cos x - 1)sin y - sin x (cos y - 1) \end{pmatrix} \) I

= 1/2 * I (cos x - 1)sin y - sin x (cos y - 1) I

Mittelwert(A(Dreieck))

= \( \frac{1}{2} \) * \( \frac{1}{2π*2π} \) \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{2π} \) I (cos x - 1)sin y - sin x (cos y - 1) I dx dy   *) Nebenrechnung

= - \( \frac{1}{2} \) * \( \frac{1}{2π*2π} \) \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{y}^{2π} \)(cos x - 1)sin y - sin x (cos y - 1) dx dy

        + \( \frac{1}{2} \) * \( \frac{1}{2π*2π} \) \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{y} \)(cos x - 1)sin y - sin x (cos y - 1) dx dy

=\( \frac{1}{8π^{2}} \)[ \(\int\limits_{0}^{2π} \)\( \int\limits_{0}^{y} \)(cos x -1)sin y - sin x (cos y -1) dxdy - \( \int\limits_{0}^{2π} \)\( \int\limits_{y}^{2π} \)(cos x -1)sin y - sin x (cos y -1) dxdy]

= \( \frac{1}{8π^{2}} \) [ \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{y} \) sin(y - x) + sin(x) - sin(y) dx dy - \( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{y}^{2π} \) sin(y - x) + sin(x) - sin(y) dx dy ]

= \( \frac{1}{8π^{2}} \) [\( \int\limits_{0}^{2π} \)[cos(y - x) - cos(x) - x sin(y) ] (0..y) dy - \( \int\limits_{0}^{2π} \)[cos(y - x) - cos(x) - x sin(y) ] (y..2π) dy]

= \( \frac{1}{8π^{2}} \) [ \( \int\limits_{0}^{2π} \) 1-cos(y) - y sin(y) -cos(y) +1 dy - \( \int\limits_{0}^{2π} \) cos(y) -1 -0 -1 + cos (y) +y sin(y)  dy ]

= \( \frac{1}{8π^{2}} \) [ \( \int\limits_{0}^{2π} \) 2-2cos(y) - y sin(y) dy - \( \int\limits_{0}^{2π} \) 2cos(y) -2 +y sin(y)  dy ]

= \( \frac{1}{4π^{2}} \)  \( \int\limits_{0}^{2π} \) 2-2cos(y) - y sin(y) dy

= \( \frac{1}{4π^{2}} \) [  2 y - 3 sin(y) + y cos(y) ] (0..2π)

= \( \frac{1}{4π^{2}} \) [  4π + 2π ]

=1,5 / π

= 0,4774648 ....

Nebenrechnung:

(cos x - 1)sin y - sin x (cos y - 1)

= -sin(x - y) + sin(x) - sin(y)

= sin(y - x) + sin(x) - sin(y)

= 4 sin(x/2) sin(y/2) sin(y/2 - x/2)    jeweils 4π-periodisch

   ≥0 für y≥x

{

   <0  sonst