Finde die Parameter der Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle Parameterwerte a, b ∈R, für die die Funktion yh(x) =asin(2x) +bcos(2x) eine Lösung der Differentialgleichung y′′+ 3y′+ 2y= 3 cos(2x)  ist.

Problem/Ansatz:

Ich kenne mich mit diesem Aufgabentyp leider gar nicht aus. Ich würde versuchen yh zweimal abzuleiten und dann y'' durch yh'' ersetzen.

Answer 1

Dein Ansatz ist gar nicht schlecht: Wenn $y_h$ eine Lösung der DGL ist genügt es der Gleichung

$$y_h'' +3y_h' +2y_h =3\cos(2x)$$

Die Ableitungen rechnet man schnell aus:

$$y_h' = 2a \cos(2x) - 2b \sin(2x)$$ $$y_h'' = -4a \sin(2x) - 4b \cos(2x) = -4y_h$$

Und kann diese dann einsetzen:

$$\begin{aligned}&-4 y_h + 3 (2a \cos(2x) - 2b \sin(2x)) + 2 y_h \\=& -2(a \sin(2x) + b \cos(2x)) + 6(a \cos(2x) - b \sin(2x)) \\ =& (-2a-6b)\sin(2x) + (6a-2b)\cos(2x) \\ \stackrel{!}{=} &3\cos(2x)\end{aligned}$$

Das führt zum Gleichungssystem (du kannst z.B. $x =0$ und $x = \frac{\pi}{4}$ einsetzen)

$$-2a-6b = 0\\ 6a - 2b = 3$$

Dieses kannst du jetzt lösen.

Die Lösung ist $a = \frac{9}{20}$ und $b = -\frac{3}{20}$

Comments

Vielen Dank EmNero!