Hallo,
Die Seitenlängen eines Rechtecks unterscheiden sich um 2 cm.
Da wir nicht wissen, wie lang die kürzere Seite des Rechtecks ist, nenne ich diese \(x\). Dann ist die Länge der längeren Seite \(x+2\) und die Fläche ist \(x \cdot (x+2)\)
Verlängert man die längere Seite um 5 cm ....
Die längere Seite war \(x+2\) lang. Verlängert man die um 5(cm), so ist sie nun \(x+7\) lang.
... und verkürzt die kleinere Seite gleichzeitig um 3 cm,
Die kleinere Seite hatte die Länge \(x\) (s.o.), dann wären das nun \(x-3\). Der neue Flächeninhalt wäre dann das Produkt der beiden (neuen) Seiten \((x+7) \cdot (x-3)\)
so ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks nicht.
Die Flächeninhalte vorher und nachher sind gleich, also ist $$\begin{aligned} x \cdot (x+2) &= (x+7) \cdot (x-3) \\ x^2 + 2x &= x^2 + 4x - 21 \\ 0 &= 2x -21 \\ 2x &= 21 \\ x &= 10,5 \end{aligned}$$Das ursprüngliche Rechteck hatte folglich die Abmessung \(10,5 \text{cm} \times 12,5 \text{cm}\).
Ein Rechteck hat einen Umfang von 60 cm.
Ist die eine Seite \(x\) lang und die andere \(y\), so ist demnach \(2(x+y)=60\). Daraus folgt, dass \(y= 30-x\) ist. Der Flächeninhalt wäre \(x\cdot y\).
Verkürzt man die längere Seite um 2 cm ...
Ich nehme an, dass \(x\) die längere Seite ist. Nach der Verkürzung ist sie \(x-2\)
... und verkürzt gleichzeitig die kürzere Seite um 3 cm,
also \(y-3\)
so wird der Flächeninhalt um 73 cm*2 kleiner.
Vorher war der Flächeninhalt \(x\cdot y\) und nun \((x-2) \cdot (y-3)\). Der letztere ist 73cm2 kleiner. Also ist $$\begin{aligned} x \cdot y &= (x-2) \cdot (y-3) + 73 \\ x \cdot y &= x \cdot y -3x - 2y + 6 + 73 \\ 0 &= -3x - 2y + 79 && \left|\, y = 30-x \space \text{s.o.}\right. \\ 0 &= -3x - 2(30-x) + 79 \\ 3x -2x &= -60 + 79 \\ x &= 19 \implies y=30-19=11 \end{aligned}$$Gruß Werner
