Schwerpunkte in Dreiecken

Question

Hey. Bräuchte bitte bei folgendem Beispiel Hilfe.

Zeigen Sie:
(a) Ist \( S \) der Schwerpunkt des Dreiecks \( A B C, \) so gilt \( \overrightarrow{S A}+\overrightarrow{S B}+\overrightarrow{S C}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0\end{array}\right) \)
(b) sind \( P, Q, R \) die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks \( A B C, \) so haben
die Dreiecke \( A B C \) und \( P Q R \) denselben Schwerpunkt. Überprüfen Sie die Behauptung an Hand eines selbstgewählten Beispiels und durch eine Zeichnung. Führen Sie auch einen allgemeinen Beweis über Vektoren.

Vor allem bei b) einen allgemeinen Beweis über Vektoren zu finden.

Danke

Answer 1

Aloha :)

a) Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist \(\vec s=\frac{1}{3}\left(\vec a+\vec b+\vec c\right)\). Daher gilt:$$\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=(\vec a-\vec s)+(\vec b-\vec s)+(\vec c-\vec s)=\vec a+\vec b+\vec c-3\vec s$$$$\phantom{\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}}=\vec a+\vec b+\vec c-3\cdot\frac{1}{3}\left(\vec a+\vec b+\vec c\right)=\vec 0$$b) Die Mittelpunkte der Seitenhalbierenden sind:$$\vec p=\vec a+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\vec a+\frac{1}{2}(\vec b-\vec a)=\frac{1}{2}(\vec a+\vec b)$$$$\vec q=\vec b+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\vec b+\frac{1}{2}(\vec c-\vec b)=\frac{1}{2}(\vec b+\vec c)$$$$\vec r=\vec c+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\vec c+\frac{1}{2}(\vec a-\vec c)=\frac{1}{2}(\vec a+\vec c)$$Der Schwerpunkt von PQR ist daher:$$\vec s_{pqr}=\frac{1}{3}\left(\vec p+\vec q+\vec r\right)=\frac{1}{3}\left(\left(\frac{\vec a}{2}+\frac{\vec b}{2}\right)+\left(\frac{\vec b}{2}+\frac{\vec c}{2}\right)+\left(\frac{\vec a}{2}+\frac{\vec c}{2}\right)\right)$$$$\phantom{\vec s_{pqr}}=\frac{1}{3}\left(\vec a+\vec b+\vec c\right)=\vec s$$Die Schwerpunkte von PQR und ABC sind daher gleich.