Substitution - Stammfunk.

Question

ich habe leider keinen Plan, wie ich die folgende Aufgabe lösen soll.

Aufgabe:

Bestimmen Sie:

\( \int \limits_{-1}^{3} \frac{1}{\sqrt{x+1}} d x, \quad(x>-1) \) mit Hilfe der Substitution \( x=t^{2}-1 \) (mit \( t>0 \) )

 

Kann mir vielleicht jemand von euch weiterhelfen?

Vielen Dank!!

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{-1}^3\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx$$Substituiere wie folgt:$$x=t^2-1\;\;;\;\;\frac{dx}{dt}=2t\;\;\Leftrightarrow\;\;dx=2t\,dt$$Das bedeutet für die Integrationsgrenzen:$$t=\sqrt{x+1}\;\;;\;\;t(-1)=\sqrt{-1+1}=0\;\;;\;\;t(3)=\sqrt{3+1}=2$$Das setzen wir in das Integral \(I\) ein:$$I=\int\limits_0^2\frac{1}{\sqrt{(t^2-1)+1}}\,2t\,dt=\int\limits_0^2\frac{1}{t}\,2t\,dt=\int\limits_0^22\,dt=\left[2x\right]_0^2=4$$

Comments

Danke euch beiden! :)

Wie seid ihr denn auf x = t²−1; dx/dt = 2^t  gekommen? Habt ihr dafür die Ableitung von x = ... genommen?

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Ja genau!

Es wurde ja definiert \(x(t)=t^2-1\). Das kann man nach \(t\) ableiten:$$x'(t)=\frac{dx}{dt}=2t$$Und das kann man nach \(dx\) umstellen:$$dx=2t\,dt$$

Answer 2

Hallo,

x= t^2 -1

dx/dt= 2t

dx= 2t dt

->einsetzen:

= 2 ∫ 1 dt= 2t +C =2 √(x+1) +C

mit den Grenzen =4

 

Comments

2 ist fast richtig ;)

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das habe ich selbst gemerkt ....