Tangente&Gerade Analysis

Question

Aufgabe:

Der Graph eines Polynoms 3. Grades geht durch den Punkt P(0/11). Seine Tangente im Wendepunkt WP(1/0) ist parallel zur Geraden y= -12x. Wie lautet der Funktionsterm?

Problem/Ansatz:

Bei den Makierten verstehe ich nicht, was damit gemeint ist. Muss man dafür in die Ausgangsgleichung, oder und in die erste Ableitung, oder und in die dritte Ableitung einsetzen ?

Answer 1

Aloha :)

Ein Polynom 3-ten Grades hat die Form: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Es geht durch den Punkt \((0|11)\), sodass \(11=f(0)=d\) gilt und wir wie folgt ansetzen können:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+11$$Wir haben Informationen zu Tangente und Wendepunkt, benötigen also auch die ersten beiden Ableitungen:$$f'(x)=3ax^2+2bx+cx$$$$f''(x)=6ax+2b$$Wir haben einen Wendepunkt bei \((1|0)\), d.h. die 2-te Ableitung an der Stelle \(x=1\) muss \(=0\) sein:$$0=f''(1)=6a+2b\quad\Rightarrow\quad 2b=-6a\quad\Rightarrow\quad \underline{b=-3a}$$Die Tangente im Wendepunkt hat die Steigung \(-12\), das heißt:$$-12=f'(1)=3a+2b+c=3a-6a+c=-3a+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=3a-12}$$Schließlich kennen wir noch die Koordinaten des Wendepunktes selbst \((1|0)\):$$0=f(1)=a+b+c+11=a\,\underbrace{-3a}_{=b}+\underbrace{3a-12}_{=c}+11=a-1\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}$$Wir kommen also auf:$$a=1\;\;;\;\;b=-3a=-3\;\;;\;\;c=3a-12=-9$$und auf das gesuchte Polynom:$$\boxed{f(x)=x^3-3x^2-9x+11}$$

~plot~ x^3-3x^2-9x+11 ; [[-3|5|-18|18]] ~plot~

Answer 2

Hi,

ein Wendepunkt verlangt, dass die zweite Ableitung 0 ist. Demnach ist f''(1) = 0. Weiterhin kennst Du die Steigung in diesem Punkt, denn bei der Geraden y = -12x nach y = mx + b und m = -12 und b = 0 haben wir die Steigung m = -12. Diese wird über die erste Ableitung angegeben. Also f'(1) = -12.

Vergiss dabei nicht, dass für den Wendepunkt natürlich auch f(1) = 0 gibt. Du hast hier also 3 Bedingungen rausfischen können.

Zur Kontrolle:

\(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 11\)

Grüße