Beweis einer abelschen Gruppe

Question

Aufgabe:

ich soll beweisen, dass diese Matrixmultiplikation \(G\) eine abelsche Gruppe ist.

$$G=\left( \left\{ m \middle|\, m = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}: \space a,b \in \mathbb R \right\} , \, \cdot\right)$$

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen ? Weiß nicht, wie ich anfangen soll. Die Eigenschaften einer Gruppe weiß ich.

Answer 1

Du meinst sicher die Menge der Matrizen von der Art

$$ \begin{pmatrix} a &0 \\ 0 & b \end{pmatrix} $$

zusammen mit der Matrixmultiplikation.

Die Eigenschaften einer Gruppe weiß ich. 

Dann geh sie mal alle durch:

1. Abgeschlossenheit

Wenn du zwei von der Art multiplizierst, muss es wieder

eine solche ergeben. Das stimmt, denn

$$ \begin{pmatrix} a &0 \\ 0 & b \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} c &0 \\ 0 & d \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ac &0 \\ 0 & bd \end{pmatrix} $$

Assoziativ ist die Matrixmult. immer.

neutrales Element ist dabei mit a=b=1

und invers zu $$ \begin{pmatrix} a &0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$$

ist $$ \begin{pmatrix} 1/a &0 \\ 0 & 1/b \end{pmatrix}$$

also auch wieder in der Menge.

kommutativ ist es auch, denn ac=ca und bd=db .

Comments

warum ist das neutrale Element a=b=1?

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Wenn du eine beliebige Matix \begin{pmatrix} c &0 \\ 0 & d \end{pmatrix} mit \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} multiplizierst, erhältst du \begin{pmatrix} c &0 \\ 0 & d \end{pmatrix}

Answer 2

Hallo

lesbar ist deine Matrix nicht, sieht aus wie eine 2 mal 2 matrix, da kannst du doch die Gruppenaxiome einfach nachrechnen? woran scheitert das? die Aufgabe  scheint mir auch nicht vollständig, was sind  etwa a,b reell? natürlich? komplex? oder??

Gruß lul

Comments

\( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \)

a ,b ∈ ℝ

ja, aber ich weiß nicht, wie ich anfangen soll.