Rechteck zwischen zwei Parabeln, Eckpunkte berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f(x)= -x^2+20 und g(x)= x^2+2.  Zwischen den Graphen zu f und g wird ein achsenparalleles Rechteck eingefügt. Ermittle rechnerisch die Eckpunktedes Rechtecks, so dass der Flächeninhalt des Rechtecks maximal wird.

Problem/Ansatz:

Ich wollte über den Umfang U(a,b)= 2*a+2*b zunächst durch g(x)-f(x) a und b bestimmen.

Diese habe ich dann eingesetzt in U(x)= 4x+8x^2+22 und danach U(x)=0 gesetzt und x1 und x2 mit pq-Formel bestimmt.

Jetzt wollte ich diese Werte in die Funktionen einsetzen, aber die Zahlen erschienen mir viel zu klein als plausible x-Werte.

Answer 1

A = 2·x·((20 - x^2) - (x^2 + 2)) = 36·x - 4·x^3

A' = 36 - 12·x^2 = 0 --> x = √3 = 1.732

Skizze:

~plot~ 20-x^2;x^2+2;5;17;x=-1.732;x=1.732;[[-20|20|0|30]] ~plot~

Answer 2

Text erkannt:

Breite des Rechtecks 2a. Höhe des Rechecks -a²+20 - (a²+2)= - 2a²+18.

Fläche des Rechtecks d(a)=2a(- 2a²+18).

Nullstellen der ersten Ableitung auf Maximum prüfen. (a_max|f(a_max)) ist ein gesuchter Eckpunkt.