Wie beweise ich diese Aussage mit Hilfe vollständiger Induktion?

Question

Text erkannt:

\( z z_{0}^{0} \forall n \in N \) gilt: \( \sum \limits_{k=1}^{20} \frac{(-n)^{k-1}}{k}-\sum \limits_{k=1}^{2} \frac{1}{n+k} \)
\( \underline{I} A: n=1 \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{k}=\frac{(-1)^{0}}{1}+\frac{(-1)^{1}}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \)
$$ \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2} $$
IVs Die Aussoge \( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{(-n)^{k-1}}{n}-\sum \limits_{n=1}^{n} \frac{1}{n+k} \) gelle für ein ne \( N \)
\( I S: n \rightarrow n+1=X_{0}^{2(n+2)} \frac{(-n)^{n-1}}{1+n^{2}}=\frac{n+1}{n-1} \frac{1}{n+1+k} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{200} \frac{(-1)^{k-1}}{k}=\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{(-1)^{k-1}}{k}+\frac{(-1)^{2 n}}{2 n+1}+\frac{(-1)^{2 n+1}}{2 n+2} \)
\( =\sum \limits_{k=1}^{20} \frac{(-1)^{k-1}}{k}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2} \)
\( =\frac{\pi}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2} \)
\( =\sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+k}-\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2 n+1}-\frac{1}{2 n+2} \)
\( =\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(n+n+k)-(n+k)}{(n+k)(n+n+k)}+\frac{1}{8 n+n}-\frac{1}{2 n+2} \)

Comments

Ich komme irgendwie nicht auf die rechte Seite, kann mir da einer bittee weiterhelfen

Answer 1

Du musst beim Übergang von n zu n+1 nur zeigen, dass die zwei Summanden, die links dazukommen

das Gleiche ergeben wie der eine Summand, der rechts dazukommt.

Comments

Das ist mir schon klar. Ich weiß aber nicht wie ich den Term weiter vereinfache, so dass ich auf die rechte Seite komme.

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neu auf der linken Seite:

\( \frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2} \) +\( \frac{(-1)^{2n+2}}{2n+3} \)

neu auf der rechten Seite:

\( \frac{1}{2n+1} \)

Mache die beiden Brüche links gleichnamig und addiere sie.

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Verstehe ich nicht. Wie kommst du darauf. Mein letzter Schritt sieht anders aus.

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Ich fasse nochmal zusammen:

1) Da laut Induktionsvoraussetzung beide Summen (links und rechts) als gleich angenommen werden, musst du beim Übergang von n auf n+1 nur nachweisen, dass auch das jeweils neu Hinzugekommene gleich groß ist.

Hast du Punkt 1 verstanden?

2) Links kommen die beiden oben von mir angegebenen Summanden zu dazu.

Kannst du das nachvollziehen?

Rechts kommt der oben von mir genannte Summand dazu.

Kannst du den nachvollziehen?

3) Du musst also nachweisen, dass die beiden neuen Summanden der linken Seite so groß sind wie der eine neue Summand der rechten Seite.

Welcher der Schritte 1 bis 3 ist dir jetzt noch unklar?

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Jetzt verstehe ich erst deinen fehlerhaften Versuch. Du wolltest im Übergang von der drittletzten zur vorletzten Zeile eigentlich ausdrücken, dass \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+k} }\) das Gleiche ist wie die Summe \( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{n+k} }\) ohne deren letzten Summanden. Dieser letzte Summand heißt dann nicht \(\frac{1}{n+1+k}\), sondern \(\frac{1}{n+(n+1)}\), und er gehört separat hinter die Summe. Du hättest also den Term mit \( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{n+k} }-\frac{1}{n+(n+1)}\) beginnen müssen, genauer, mit \( (\sum\limits_{k=1}^{n+1}{\frac{1}{n+k} })-\frac{1}{n+(n+1)}\).

Du hast hingegen  \(\sum\limits_{k=1}^{n+1}({\frac{1}{n+k} }-\frac{1}{n+(n+1)})\) verwendet und damit den zu subtrahierenden Einzelterm unberechtigterweise mit in die Summenformel hineingezogen.

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Ja genau das habe ich! Danke hahahha jetzt sehe ich meinen Fehler auch. Dankeeeee