Hallo,
wenn man weis, dass der Brennpunkt \(1/(4a)\) vom Scheitelpunkt einer Parabel entfernt ist, wenn \(a\) der Faktor vor dem Quadrat ist, so ist es einfach$$y^2 = 10 x \implies \frac 1{10} y^2 = x$$also ist \(a=\frac 1{10}\) und der Brennpunkt legt bei \((2,5|0)\)
~plot~ sqrt(10x);{2.5|0};[[-2|16|-2|11]];(x>2.5)*5;{2.5|5};x+2.5 ~plot~
oder man überlegt sich, was 'Brennpunkt' bedeutet. Jeder waagerecht einfallende Strahl, der von der Funktion 'reflektiert' wird, geht durch den Brennpunkt. Also gilt das auch für den Strahl, der bei der Steigung \(y'=1\) einfällt (rot s. Plot). Und dieser Strahl wird senkrecht nach unten reflektiert und gibt damit hier die x-Position \(x_f\) des Brennpunkts an.
Es ist $$\begin{aligned} y &= \sqrt{10 x} \\ y' &= \frac { \sqrt{10}}{2\sqrt x} \to \space =1 \text{ für } x=x_f\\ \implies x_f &= \left( \frac{\sqrt{10}}{2}\right) ^2 = 2,5 \end{aligned}$$Gruß Werner
PS.: es ist hier nicht notwendig, die Gleichung nach \(y= \dots\) umzustellen. Ableiten von \(y^2 = 10x\) nach \(x\) gibt mit Kettenregel \(2yy' = 10\). Einsetzen von \(y'=1\) führt zu \(y=5\) und anschließendes Einsetzen in die Ausgangsgleichung dann zu \(x=2,5\). Aber das nur am Rande ...
