Exponentielle Temperaturabnahme

Question

Aufgabe:

Heißer Kaffee mit einer Anfangstemperatur T0 wird durch die niedrigere Umgebungstemperatur T1 gekühlt. Die Temperaturabnahme verläuft dabei exponentiell nach der Gleichung T(t)=(T0−T1)e−kt +T1 (t ≥0) Dabei ist T(t) die Temperatur der Flüssigkeit zum Zeitpunkt t. Bei Zimmertemperatur T1 = 20◦C werden folgende Werte gemessen: Nach 5 Minuten beträgt die Kaffeetemperatur 50◦C, nach 10 Minuten dagegen nur noch 30◦C.

a) Bestimmen Sie T0 und k.

Problem/Ansatz:

Habe leider gar keinen Ansatz.

Answer 1

fa(t) = (a - 20)·e^(- k·t)

fa(5) = (a - 20)·e^(- k·5) = 50 --> a = 50·e^(5·k) + 20

fa(10) = (a - 20)·e^(- k·10) = 30 --> a = 30·e^(10·k) + 20

Gleichsetzen

30·e^(10·k) + 20 = 50·e^(5·k) + 20
30·e^(10·k) = 50·e^(5·k)
e^(10·k) / e^(5·k) = 50 / 30
e^(5·k) = 5/3
5·k = LN(5/3)
k = LN(5/3)/5 = 0.1022

a = 50·e^(5·0.1022) + 20 = 103.3

f(t) = (103.3 - 20)·e^(- 0.1022·t)

Comments

Vielen dank für die schnelle Antwort.

Ich habe es jetzt auch noch mal selber gerechnet und bekomme aber etwas anders raus weil ich glaube das du die +20 vergessen hast.

Das ist jetzt meine Lösung.

fa(t) = (a - 20)•e^(- k•t)
fa(5) = (a - 20)•e^(- k•5) + 20 → a = 30•e^(5•k) + 20
fa(10) = (a - 20)•e^(- k•10) +20 → a = 10•e^(10•k) + 20

Gleichsetzen

30•e^(5•k) + 20 = 10•e^(10•k) + 20
30•e^(5•k) = 10•e^(10•k)
e^(10•k) / e^(5•k) = 30 / 10
e^(5•k) = 3/1
5•k = LN(3/1)
k = LN(3/1)/5 = 0.22

a = 30•e^(5•0,22) + 20 = 110

f(t) = (110 - 20)•e^(- 0.22•t)

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Dann kannst du ja mal die Probe machen und in die Funktion 5 und 10 einsetzen und schauen ob die gewünschten Temperaturen herauskommen.