Question

Scheitelpunkt einer Parabel

Der Graph einer quadratischen Funktionen f mit f(x) = ax² + bx + c mit a, b, c ist ein Element von |R, a ≠ 0 ist eine Parabel mit Scheitel S = (xs|ys). Für die x-Koordinate des Scheitels gilt xs = -b/2a. Die Parabel ist symmetrisch bezüglich der Geraden x= -b/2a. Aus dieser Tatsache folgt, dass die Nullstellen der Funktion f, sofern sie welche besitzt, ebenfalls symmetrisch um x = -b/2a liegen.

Aufgabenstellungen:

a) Wir betrachten eine quadratische Funktion f1, deren Funktionsgraph eine nach oben offene Parabel ist. Begründe in Worten anhand einer Skizze: Die Funktion f hat zwei Nullstellen, wenn ys < 0. Bei festen Werten der Parameter a und b: Gib eine Bedingung für den Parameter c an, sodass gilt ys < 0.

b) Wir betrachten die quadratische Funktionen f mit f2(x) = ax² + bx (a ≠ 0, b ≠ 0). Zeige, dass die Funktion f2, zwei Nullstellen x1 und x2 hat und berechne sie! Begründe, dass für die x-Koordinate des Scheitels des Graphen der Funktion f2 gilt: xs = -b/2a

c) Sei f3, eine quadratische Funktion mit zwei Nullstellen x1 und x2. Zeige, dass gilt: xs = -b/2a Argumentiere, dass die Formel xs = -b/2a auch dann gilt, wenn die Funktion f3 keine Nullstellen hat.

Comments

Wo liegen die Schwierigkeiten?

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Meine Schwierigkeiten liegen darin, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll, ich bräuchte eine Hilfe, wie man so ein Beispiel löst.

Zum Beispiel bei a) verstehe ich nicht, wie ich eine Bedingung für Parameter c angeben soll

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich bei diesem Beispiel vorgehen soll und mir bitte auch weiterhelfen und es auch erklären ? 

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Hallo,

Zum Beispiel bei a) verstehe ich nicht, wie ich eine Bedingung für Parameter c angeben soll

Na ja - Du könntest mit dem ersten Teil von a) anfangen - da heißt es

Wir betrachten eine quadratische Funktion f1, deren Funktionsgraph eine nach oben offene Parabel ist. Begründe in Worten anhand einer Skizze: Die Funktion f hat zwei Nullstellen, wenn ys < 0.

Dazu mal zwei Beispiele

Plotlux öffnen

Zoom: x(-2…12) y(-3…7)f₁(x) = (x-7)²/2+2f₂(x) = (x-3)²-1P(3|-1)P(7|2)

oben siehst die Graphen zweier Parabeln (also Funktion vom Typ $f(x)=ax^2+bx+c$ ). Der Scheitelpunkt der roten Parabel liegt bei $(3;\, -1)$ - also unterhalb der x-Achse, und da die Parabel noch oben geöffnet ist, hat sie zwei Nullstellen. In diesem Fall bei $(2;\, 0)$ und $(4;\, 0)$.

Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffnet Parabel ist ihr tiefster Punkt. Liegt der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse und damit unterhalb des Niveaus $y=0$, so hat sie zwangsläufig zwei Nullstellen und umgekehrt: existieren zwei Nullstellen, so ist $y_S \lt 0$.

Dann berechne die Nullstellen doch einfach. Die Mitternachtsformel sollte Dir bekannt sein. Es ist $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$Die Funktion des roten Graphen lautet $$f(x) = x^2 -6x + 8$$Einsetzen in die Mitternachtsformel liefert die Nullstellen$$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = 3 \pm \frac 12 \sqrt{4}$$Die Funktion des blauen Graphen lautet $$f(x) = \frac 12 x^2-7x+26,5$$und die Nullstellen (?)$$x_{1,2} = \frac{ 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot \frac 12 \cdot 26,5}}{2 \cdot \frac 12} = 7 \pm \sqrt{-4}$$Nun steht da aber $\sqrt{-4}$ und es gibt im reellen keine Zahl, deren Quadrat $=-4$ ist. Also gibt es keine Lösung und der Graph zeigt uns ja auch an, dass es keine Nullstellen gibt. Der tiefste Punkt dieser blauen Parabel ist $y_S=2$ - tiefer geht's nicht.

Daraus kann man doch schließen, dass der Ausdruck $b^2 - 4ac$ unter der Wurzel $\ge 0$ sein muss, damit Nullstellen existieren. Und wenn zwei Nullstellen existieren, genau dann ist ist auch $y_S \lt 0$. Das bedingt sich gegenseitig. Folglich gilt$$b^2 - 4ac \gt 0 \Leftrightarrow y_S \lt 0$$bzw. wenn man den linken Term nach $c$ auflöst$$c \lt \frac{b^2}{4a} \Leftrightarrow y_S \lt 0, \quad a \gt 0$$

b) Wir betrachten die quadratische Funktionen $f$ mit $f_2(x) = ax^2 + bx, \quad (a ≠ 0, b ≠ 0)$. Zeige, dass die Funktion $f_2$, zwei Nullstellen $x_1$ und $x_2$ hat und berechne sie!

Diese Funktion kann man umformen zu $$f_2 = x(ax+b)$$und das ist ein Produkt und das Produkt ist $=0$, wenn einer der beiden Faktoren $=0$ ist. Also liegen die beiden Nullstellen bei $$x_1 = 0 \\ ax_2 + b = 0 \implies x_2 = -\frac{b}{a}$$und da $a \ne 0, \space b \ne 0$ gilt auch $x_2 \ne 0$ und damit $x_1 \ne x_2$. Es liegen also bei $f_2$ zwei getrennte Nullstellen vor.

c) Sei $f_3$, eine quadratische Funktion mit zwei Nullstellen $x_1$ und $x_2$. Zeige, dass gilt: $x_s = - \frac b{2a}$ Argumentiere, dass die Formel $x_s = - \frac b{2a}$ auch dann gilt, wenn die Funktion $f_3$ keine Nullstellen hat.

Jede Parabel ist symmetrisch. Und ihre Symmetrieachse geht durch den Scheitelpunkt $x_s$. Die Symmetrie gilt natürlich auch für die Nullstellen - daraus folgt, dass die x-Position $x_s$ des Scheitelpunkts genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt. Betrachten wir uns dazu noch mal die Mitternachtsformel, die ja die Position der Nullstellen liefert. $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = -\frac{b}{2a} \pm \frac 1{2a} \sqrt{b^2 - 4ac}$$Wenn man nun die Mitte $x_m$ zwischen diesen beiden Punkten berechnet, so wäre das doch $$x_m = \frac12(x_1 + x_2) = -\frac b{2a}$$Und die Mitte ist aus Gründen der Symmetrie $x_m = x_2$. Also ist $$x_2 = - \frac b{2a}$$ und dies gilt auch dann, wenn keine Nullstellen vorhanden sind, da man die Parabel mit Änderung des Parameters $c$ nach oben und unten verschieben kann, ohne dass sich die horizontale Poition der Parabel verändert.

Gruß Werner