Hallo,
Die Produktionsfunktion (und damit die Nebenbedingung) ist $$F(K,L)= KL^3 \\ \text{NB: } \space KL^3 - 130 = 0$$Die Kosten \(C\) berechnen sich nach $$C(K,L) = 11K + 9L$$ und sollen minimal sein. Lösen nach Lagrange gibt$${\cal L} (K,L,\lambda) = 11K + 9L+ \lambda(KL^3 - 130) \\ \frac{\partial{\cal L} }{\partial K} = 11 + \lambda L^3 = 0 \implies \lambda = - \frac{11}{L^3}\\ \frac{\partial{\cal L} }{\partial L} = 9 + 3 \lambda K L^2 = 0 $$das \(\lambda\) hast Du genauso und setzt Du nun in die Ableitung nach \(L\) ein$$\begin{aligned} 9 + 3 \left( - \frac{11}{L^3}\right) K L^2 &= 0 && \left|\, + 33 \frac KL \right.\\ 9 &= 33 \frac KL &&\left| \, \cdot \frac L{33} \right. \\ \frac {3L}{11} &= K \end{aligned}$$Einsetzen von \(K\) in die Nebenbedingung gibt dann$$\begin{aligned} \left( \frac {3L}{11} \right)L^3 - 130 &= 0 &&\left|\, +130 \right. \\ \frac{3}{11} L^4 &= 130 &&\left|\, \cdot \frac{11}{3}\right. \\ L^4 &= \frac{1430}{3} && \left|\, \sqrt[4]{\space } \right. \\ L &\approx 4,673\end{aligned}$$Ich gehe davon aus, dass \(K,L \gt 0\). Daraus folgt dann \(K\approx 1,274\) und die Kosten liegen bei \(C_{\min} \approx 56,07\).
