Häufungspunkte einer Teilfolge

Question

Liebe Community!

ich brauche mal wieder eure Hilfe, dieses mal geht es um die Häufungspunkte einer Folge.

Ich möchte die Häufungspunkte einer längeren Folge betrachten, eine Teilfolge macht mir dabei Probleme, nämlich \(a_n = cos(πn + 2/n) \)

Als Häufungspunkt für gerade Zahlen komme ich durch eher intuitives Einsetzen einiger Zahlen auf +1, für ungerade Zahlen auf -1.

Nun möchte ich das ganze auch beweisen, meine Idee wäre für die geraden Zahlen 2n für n und für die ungeraden 2n + 1 für n einzusetzen. Hier habe ich nun Probleme:

\( a_n (2n) = cos (2πn + 2/2n) = cos (2πn + 1/n) = sin(2πn) cos (1/n) + cos (2πn) sin (1/n) \)

Bilde ich nun den Limes des zweiten Teils, also von \(cos (2πn) sin (1/n) \) komme ich auf 0, da \(\lim\limits_{n\to\infty} 1/n \) gegen 0 geht, \(sin(0) = 0\) gilt und der \(cos (2πn) \) beschränkt ist.

Bilde ich den Limes von  \(cos (1/n) \) komme ich auf den Wert 1, der Faktor \(sin(2πn)\) sollte 0 ergeben, da der Sinus für alle Vielfache von 2π immer 0 ergibt. Damit wäre der Häufungspunkt aber 0 und nicht 1.

Kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt?

Vielen Dank im Voraus!

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Hallo,

überprüfe doch mal das Additionstheorem für den Kosinus.

Gruß

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Oje da hab ich wirklich einen Bock geschossen, Danke für den Hinweis!

Answer 1

Aloha :)$$a_n=\cos\left(n\pi+\frac{2}{n}\right)=\underbrace{\cos(n\pi)}_{=(-1)^n}\cos\left(\frac{2}{n}\right)-\underbrace{\sin(n\pi)}_{=0}\sin\left(\frac{2}{n}\right)=(-1)^n\cos\left(\frac{2}{n}\right)$$$$n\text{ gerade}\quad\;\;\Rightarrow\;\;a_n=\cos\left(\frac{2}{n}\right)\to\cos(0)=1$$$$n\text{ ungerade}\;\;\Rightarrow\;\;a_n=-\cos\left(\frac{2}{n}\right)\to-\cos(0)=-1$$

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Vielen Dank für die Antwort! Da mir jetzt die fehlerhafte Anwendung der Additionstheoreme bewusst ist, ist auch der Beweis einfach und logisch ;)