Gebe die Ebene H in Koordinatenform an

Question

H:x= \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)+t\( \begin{pmatrix} 6\\4\\-2 \end{pmatrix} \)+r\( \begin{pmatrix} 0\\16\\-8 \end{pmatrix} \)

Die oben genannte Ebene soll noch als Koordinatengleichung wiedergeben.

So habe ich folgendes gemacht:

1. X₁ = 6t

2. X₂ = 4t+16r

3. X₃ = -2t -8r

Als Lösung habe ich: 4x₁-1,5x₂+3x₃= 0

Könnte mir jemand sagen, ob das Ergebnis der Wahrheit entspricht?

Answer 1

Aloha :)

Wir machen die Probe mit den 3 Punkten:$$(0|0|0)\;:\;4\cdot0-1,5\cdot0+3\cdot0=0\quad\checkmark$$$$(6|4|-2)\;:\;4\cdot6-1,5\cdot4+3\cdot(-2)=12\ne0$$Passt nicht, du hast dich verrechnet :(

Richtig wäre:

$$\vec n=\left(\begin{array}{c}6\\4\\-2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}0\\16\\-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\48\\96\end{array}\right)=48\cdot\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$$$E:\;x_2+2x_3=0$$

Comments

Dankeschön, dann suche ich mal nach meinem Fehler haha.

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Schau nochmal, ich wollte dich nicht so im Regen stehen lassen ;)

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Ehrlich sehr nett!! Das bringt mich auf jeden Fall weiter

Answer 2

Könnte mir jemand sagen, ob das Ergebnis der Wahrheit entspricht?

Das kannst du sogar selber kontrollieren.

Berechne 3 beliebige Punkte auf der gegebenen Ebene, die ein Dreieck bilden. D.h. nicht gerade alle auf derselben Geraden liegen.

Nun setze die Koordinaten dieser Punkte in deine Koordinatengleichung ein.

Answer 3

Um den Normalenvektor zu bilden nimmt man das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren

k·n = [6, 4, -2] ⨯ [0, 16, -8] = [0, 48, 96]

Schlauer ist es hier schon gleich aus den Richtungsvektoren gemeinsame Faktoren herauszunehmen, weil die die Rechnung im Kopf nur erschweren

[6, 4, -2] = 2·[3, 2, -1]

[0, 16, -8] = 8·[0, 2, -1]

k·n = [3, 2, -1] ⨯ [0, 2, -1] = [0, 3, 6] = 3·[0, 1, 2]

Damit lautet die Ebenengleichung jetzt

E: y + 2·z = 0