Skizzieren sie den Graphen der Funktion f mit f(x)=x²-4x und erläutern sie

Question

a) Skizzieren sie den Graphen der Funktion f mit f(x)=x²-4x und erläutern sie, wie man mithilfe des Graphen einen Näherungswert für f'(1) erhält. Bestimmen sie einen solchen Näherungswert. 

b) Bestimmen Sie rechnerisch f'(1)

Keinen Plan was ich machen soll, kann das jemand bearbeiten? Danke :)

Answer 1

Skizzieren sie den Graphen der Funktion f mit f(x)=x²-4x

Der Graph der Funktion

        f(x) = ax² + bx + c

ist eine Parabel und sie

• schneidet die y-Achse bei c
• hat dort die Steigung b
• ist nach oben geöffnet wenn a > 0 ist und nach unten geöffnet wenn a < 0 ist
• ist schmaler als die Normalparabel wenn |a| > 1 ist und breiter als die Normalparabel wenn |a| < 1 ist.
  

erläutern sie, wie man mithilfe des Graphen einen Näherungswert für f'(1) erhält.

Man zeichnet an der Stelle 1 die Tangente von f ein und bestimmt deren Steigung.

b) Bestimmen Sie rechnerisch f'(1)

Wende die Ableitungsregeln an um f'(x) zu bestimmen.

Setze 1 für x in f'(x) ein.

Answer 2

Zeichne den Graphen inkl. der Tangente an der Stelle x = 1 in ein Koordinatensystem ein.

Du kannst an der Tangentensteigung jetzt die Ableitung an der Stelle x = 1 ablesen.

Das sollten laut Skizze also um die -2 sein.

~plot~ x^2-4*x;-2*(x-1)-3;[[-6|6|-6|2]] ~plot~

Answer 3

Es ist $$ x^2-4x = x(x-4)  $$ also sind die Nullstellen der nach oben geöffneten Parabel \( x_1 = 0 \) und \( x_2 = 4 \). Weiter ist $$ x^2 -4x = (x-2)^2-4  $$ Also liegt der Scheitelpunkt der Parabel bei \( (2|-4) \)

Eine Gerade durch den Punkt \( x=1 \) lautet $$ g(x) = m(x-1)-3  $$ mit unbekannter Steigung \( m \). Die Schnittpunkte dieser Geraden mit der Parabel lauten $$  x_{1,2} = \frac{4+m}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{4+m}{2} \right)^2 - (m+3) } $$ Damit nur ein Schnittpunkt vorliegt (Tangente) muss der Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) Null sein. Lösen dieser quadratischen Gleichung für \( m \) ergibt \( m = -2 \)

Answer 4

a) f ' heißt Steigung. t ist eine Tangente, welche die gesuchte Steigung hat, PQ ist eine Hilfsgerade mit ungefähr der gleichen Steigung wie t:

Die Steigung von PQ ermitteln wir mit dem Steigungsdreieck -4/2=-2.

Also f '(1)≈ - 2.

b) f '(x)=2x-4; f '(1)=2-4=-2.