Wodurch ist eine Funktionsgleichung der Wendetangete t gegeben?

Question

Aufgabe:

Bestätigen Sie rechnerisch, dass durch t(x) = 24x-16 die Funktionsgleichung der Wendetangente t gegeben ist.

allg. Gleichung g(x)=-2X³ + 12x² 

(eventuell hilfreiche Infos aus vorherigen Aufgaben: W(2/32)

Answer 1

g'(2) sollte 24 sein und der Schnittpunkt von g und t sollte (2|32) sein.

Answer 2

Hallo,

1. Schritt: Du berechnest den Wendepunkt/die Wendepunkte der Funktion, indem du die 2. Ableitung = 0 setzt.

2. Du bestimmst die y-Koordinate des Punktes, indem du deine Lösung für x in g(x) einsetzt.

3. Ein Gerade hat die allgemeine Form y = mx + b

m = Steigung berechnest du, indem du deine Lösung aus 1. in g'(x) einsetzt.

b bestimmst du, in dem für y und x die Koordinaten des Wendepunktes in die Geradengleichung einsetzt und nach b auflöst.

Falls du dazu noch fragen hast, bitte melden.

Gruß, Silvia

Answer 3

Aloha :)

Die Gleichung der Tangente im Punkt \(x_0\) an eine Funktion \(f(x)\) kannst du dir wie folgt überlegen. Die Steigung der Tangente \(m_t\) ist gleich der Ableitung \(f'(x_0)\) der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\). Da die Tangente \(t(x)\) eine Gerade ist, hat sie überall dieselbe Steigung. Daher gilt$$m_t=f'(x_0)=\frac{t(x)-t(x_0)}{x-x_0}$$Im Punkt \(x_0\) berührt die Tangente \(t\) die Funktion \(f\), daher ist \(f(x_0)=t(x_0)\) und es gilt weiter:$$f'(x_0)=\frac{t(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$Diese Gleichung kannst du nach \(t\) umstellen und erhältst die allgemeine Formel für eine Tangente an die Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\):$$\underline{t(x)=f(x_0)+f'(x)\cdot(x-x_0)}$$Die Wendetangente ist die Tangente an die Kurve im Wendepunkt \(W(2|32)\). Wir brauchen also:$$f(2)=32$$$$f'(2)=\left[-6x^2+24x\right]_{x=2}=24$$und können die Tangentengleichung hinschreiben:$$t_w(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)=32+24(x-2)=24x-16$$