Gemeinsame Punkte Ebene mit Würfel [war: ...Ebene mit Ebene]

Question

Aufgabe:

… Ein Würfel besitzt die Eckpunkte O(0/0/0),P(6/0/0),Q(0/6/0),R(0/0/6) Gegeben ist außerdem die Ebene E: 3x₂+x₃=8

Problem/Ansatz:

Die Ebene E gehört zu einer Ebenenschar. Diese Schar ist gegeben durch E: 3x₂+x₃=a

Für welche Werte von a hat die Ebene E_a gemeinsame Punkte mit dem Würfel?

Answer 1

Für a ∈ [0 ; 24] gibt es gemeinsame Punkte mit dem Würfel.

Da die Ebene parallel zur x1-Achse verläuft könntest du einen Querschnitt parallel zur x2-x3-Ebene Skizzieren.

Versuche das mal. Zeichne also den Querschnitt des Würfels und den Querschnitt der Ebene.

Answer 2

Aloha :)

Damit ein Punkt innerhalb des Würfels liegt, müssen alle seine Koordinaten im Intervall \([0|6]\) liegen. Wählen wir \(x_2=0\), also den kleinstmöglichen Wert, bleibt wegen der Ebenengleichung die Bedinung \(x_3=a\) übrig, das heißt: \(a\in[0|6]\) ist zulässig. Wählen wir \(x_3=0\) folgt aus der Ebenengleichung \(x_2=\frac{a}{3}\), das heißt \(a\in[0|18]\) ist zulässig.

Korrektur:

Wenn sowohl \(x_2=6\) als auch \(x_3=6\) ist, kommt \(a=24\) heraus, d.h. bis zu \(a=24\) gibt es gemeinsamene Punkte von Ebene und Würfel.

Comments

_{Hatte sich schon erledigt}

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Wenn x2 und x3 beide 6 sind, wird a=24.

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Stimmt, den Fall habe ich übersehen... Danke für den Hinweis ;)