Einige Aufgaben zur Basistransformation

Question

Aufgabe:

Hallöchen, wir haben einige Aufgaben bekommen aber verstehe leider gar nichts, da ich mit dem Thema nicht zurecht komme. Es wäre also super lieb, wenn mir jemand helfen könnte :)

Also nun zu den Aufgaben:

Betrachten Sie ℂ²  als ℝ-Vektorraum.

a) Zeigen Sie, dass Β = {  \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} i\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\i \end{pmatrix} \) } eine Basis von V ist.

b) Sei f: V→V eine lineare Abbildung mit _BM_B (f)  = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) . Bestimmen  Sie f (\( \begin{pmatrix} 1+i\\1-i \end{pmatrix} \) ).

c) Zeigen Sie, dass C = { \( \begin{pmatrix} 1+i\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1-i\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\i \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\i \end{pmatrix} \) } ebenfalls eine Basis von V ist.

d) Bestimmen Sie _CM_C(f).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider wie gesagt überhaupt gar keinen Ansatz, weil ich mit dem Thema gar nicht klarkomme. Ich würde mich also riesig freuen, wenn mir jemand helfen kann und das ggf etwas erläutern könnte :) ich bedanke mich schonmal im Voraus.

Answer 1

Aloha :)

a) Wir müssen zeigen, dass wir jedes 2-Tupel aus \(\mathbb{C^2}\) mit den Vektoren aus \(B\) schreiben können und dass wir dazu jeden dieser Vektoren benötigen.$$\binom{z_1}{z_2}=\binom{a_1+ib_1}{a_2+ib_2}=\binom{a_1}{a_2}+\binom{ib_1}{ib_2}=\binom{a_1}{0}+\binom{0}{a_2}+\binom{ib_1}{0}+\binom{0}{ib_2}$$$$\phantom{\binom{z_1}{z_2}}=a_1\binom{1}{0}+a_2\binom{0}{1}+b_1\binom{i}{0}+b_2\binom{0}{i}$$Die vorgeschlagene geordnete Vektormenge \(B\) reicht also aus, um alle 2-Tupel aus \(\mathbb{C^2}\) darzustellen. Es darf auch kein Vektor aus dieser Menge \(B\) weggelassen werden, weil sonst \(a_1,b_1,a_2\) oder \(b_2\) nicht repräsentiert werden könnten. Weil zusätzlich \(a_1,b_1,a_2,b_2\in\mathbb{R}\) sind, lässt sich mit \(B\) als Basis der \(\mathbb{C^2}\) als \(\mathbb{R}\)-Vektorraum darstellen.

b) Die gegebene Abbildungsmatrix für die Funktion \(f\)$${_B}M_B(f)=\left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$erwartet rechts als Eingangsgrößen Vektoren mit Komponenten bzgl. der Basis \(B\) und liefert links auch wieder Vektoren mit Komponenten bzgl. der Basis \(B\). Daher müssen wir zuerst das Argument der Funktion in die benötigte Darstellung umrechnen:$$\binom{1+i}{1-i}=1\cdot\binom{1}{0}+1\cdot\binom{0}{1}+1\cdot\binom{i}{0}-1\cdot\binom{0}{i}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\-1\end{array}\right)_B$$Nun lassen wir die Abbildungsmatrix auf den Vektor wirken:$$\left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\-1\end{array}\right)_B=\left(\begin{array}{c}1\\4\\-3\\2\end{array}\right)_B$$Das Ergebnis wandeln wir wieder in den \(\mathbb{C^2}\) um:$$f\binom{1+i}{1-i}=1\cdot\binom{1}{0}+4\cdot\binom{0}{1}-3\cdot\binom{i}{0}+2\cdot\binom{0}{i}=\binom{1-3i}{4+2i}$$

c) Da wird in Teil (d) eine Basistransformation durchführen sollen, bestimmen wir hier die Transformationsmatrix \({_B}id_C\) von \(C\) nach \(B\) und berechnen ebenso ihre Inverse \({_C}id_B={{_B}id_C}^{-1}\). Wenn beide Matrizen exisiteren, muss \(C\) ebenfalls eine Basis von \(V\) sein (eindeutige Hin- und Rücktransformation).$$\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\0\end{array}\right)_C=\binom{1+i}{0}=1\cdot\binom{1}{0}+0\cdot\binom{0}{1}+1\cdot\binom{i}{0}+0\cdot\binom{0}{i}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right)_B$$$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\0\end{array}\right)_C=\binom{1-i}{1}=1\cdot\binom{1}{0}+1\cdot\binom{0}{1}-1\cdot\binom{i}{0}+0\cdot\binom{0}{i}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\-1\\0\end{array}\right)_B$$$$\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\0\end{array}\right)_C=\binom{2}{i}=2\cdot\binom{1}{0}+0\cdot\binom{0}{1}+0\cdot\binom{i}{0}+1\cdot\binom{0}{i}=\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\\1\end{array}\right)_B$$$$\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\\1\end{array}\right)_C=\binom{1}{i}=1\cdot\binom{1}{0}+0\cdot\binom{0}{1}+0\cdot\binom{i}{0}+1\cdot\binom{0}{i}=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right)_B$$Damit lauten die Transformations-Matrizen zwischen den Basen:

$${_B}id_C=\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)\quad;\quad{_C}id_B={{_B}id_C}^{-1}=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 0\\0& 1 & 0 & 0\\1 & -2 & -1 & -1\\-1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right)$$

d) Nun sollen wir die Abbildungsmatrix \({_B}M_B\) so transformieren, dass sie rechts einen Vektor mit Komponenten bzgl. der Basis \(C\) erwartet und links auch wieder einen Vektor mit Komponenten bzgl. der Basis \(C\) als Ergebnis liefert. Diese Matrix \({_C}M_C\) bauen wir wie folgt zusammen. Wir nehmen den Eingangsvektor mit Komponenten bzgl. der Basis \(C\) und multiplizieren ihn mit \({_B}id_C\), um die Komponenten auf die Basis \(B\) umzurechnen. Dann lassen wir die bekannte Abblildungsmatrix \({_B}M_B\) darauf wirken. Da diese den Ergebnisvektor mit Komponenten bzgl. der Basis \(B\) liefert, müssen wir diese durch Multiplikation mit \({_C}id_B\) wieder auf die Basis \(C\) umrechnen. Das lässt sich mathematisch sehr elegant formulieren:$${_C}M_C={_C}id_B\cdot{_B}M_B\cdot{_B}id_C$$Wir setzen ein und rechnen aus:

$${_C}M_C=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 1 & 0\\0& 1 & 0 & 0\\1 & -2 & -1 & -1\\-1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 1 & 2 & 1\\0 & 1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$$$${_C}M_C=\left(\begin{array}{c}4 & 0 & 7 & 4\\4& 2 & 6 & 3\\-10 & -1 & -15 & -8\\13 & 2 & 20 & 11\end{array}\right)$$