n-tes Glied einer rekursiv definierten Folge bestimmen

Question

Die Folge ist beschrieben durch:

$$a;b \in \mathbb{R}^+$$

$$g_1=a+b$$

$$g_2=a+\frac{b \cdot g_1}{b+g_1}$$

$$g_3=a+\frac{b \cdot g_2}{b+g_2}$$

$$g_4=a+\frac{b \cdot g_3}{b+g_3}$$

$$g_{n+1}=a+\frac{b \cdot g_n}{b+g_n}$$

Ist es möglich dazu eine Funktion zu entwickeln, die den Wert eines beliebigen Gliedes unmittelbar ausgibt?

$$g_n= f(n)$$

Falls ja, bitte wie ?

Falls nein, weshalb nicht?

Falls vielleicht ungefähr - welche Funktion könnte eine Näherung modellieren?

Comments

Ich habe selber mal die ersten Folgeglieder von Hand aufgestellt. Das wird sehr schnell sehr unübersichtlich. Aber wo ich nicht weiterkomme, gibt es ja noch meinen Freund Wolfram. Und in der Tat hat er eine Lösung. Sagt mir allerdings auch nicht wie er darauf gekommen war.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%281%29%3Da%2Bb%2Cf%28n%2B1%29%3Da%2B%28b*f%28n%29%29%2F%28b%2Bf%28n%29%29

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Vielen Dank - vermutlich hast Du die Bezahlversion.

bei mir gibt er

g(n) = (sqrt(a) (sqrt(a) c_1 (a + 3 b) (-(-sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n - a c_1 sqrt(a + 4 b) (-(-sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n - b c_1 sqrt(a + 4 b) (-(-sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n + sqrt(a) (a + 3 b) (-(sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n + a sqrt(a + 4 b) (-(sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n + b sqrt(a + 4 b) (-(sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n))/(c_1 (a + 2 b) (-(-sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n - sqrt(a) c_1 sqrt(a + 4 b) (-(-sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n + (a + 2 b) (-(sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n + sqrt(a) sqrt(a + 4 b) (-(sqrt(a) sqrt(a + 4 b) + a + 2 b)/b^2)^n) (where c_1 is an arbitrary parameter)

als Antwort ...

... auch etwas unübersichtlich

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Nee - ich muss es nur richtig eingeben - schon kommt das passende Ergebnis - irgendwie merkwürdig ...

... is ja wie beim Taschenrechner - kaum tippt man ne falsche Zahl ein, schon kommt ein fehlerhaftes Ergebnis raus ;)

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Wenn ich folgenden String:

f(1)=a+b,f(n+1)=a+(b*f(n))/(b+f(n))

auf der Startseite von WolframAlpha.com eingebe, dann rödelt Wolfi endlos mit einer Animation herum, die wohl rege Tätigkeit im Hintergrund suggerieren soll. Nur kommt niemals ein Resultat.

Ich habe es mit drei verschiedenen Browsern versucht, auch Scripte freigeschaltet.

Einfachere Berechungen klappen, es ist also nicht so, dass Wolfi bei mir irgendwie generell streiken würde.
Ich kann keinen Fehler in dem String sehen, den ich aus dem Screenshot von Der_Mathecoach abgeschrieben habe. Was ist da los?

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Du brauchst doch eigentlich nur oben auf meinen Link klicken. Das sollte Funktionieren.

Ich benutze Google Chrome. Aber daran sollte das nicht liegen.

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Interessant, der Link funktioniert tatsächlich ...
- Aber nur im Vivaldi-Browser (der basiert auf Chromium).

Im Firefox, wie auch in PaleMoon, rödelt Wolfi nur endlos rum.
Da wird sogar die Formel falsch ins Eingabefeld übernommen.
Ulkigerweise hilft da auch nicht, sie manuell korrekt einzufügen.
Ich verbuche das mal unter "Macken installierter Addons", die ich in diesen beiden Browsern verwende.

Komisch, dass ich vorhin auch im Vivaldi keinen Erfolg hatte, als ich die Formel dort per Clipboard einfügte.
- Die Wunder der Technik ...  :-/

Aber zurück zum Thema:
Die Formel ist, wie ich ja schon befürchtet hatte, doch arg komplex.
Und der Ra kürzt sich da auch nicht auf magische Weise heraus, obwohl der User Abakus derartiges geschafft haben will (was mir spanisch vorkommt).

Darum wäre es prima, den Ansatz mit der Eulerschen Zahl weiter zu verfolgen.
Nur sollte diese auf e basierte Formel doch irgendwie aus den drei Eingangsgrößen herleitbar sein, ohne fixen Korrekturwerten, die nur für eine bestimmte Kombination von Ra und Rb gelten.

Nach wie vor habe ich daran zu kauen, dass dieses auf den ersten Blick doch total simpel aussehende Problem so ein schwieriger Kracher sein soll.

Heutzutage haben wir Computer und WolframAlpha etc.
Zur Zeit meiner Ausbildung und meines halben Studiums, waren die einzigen erlaubten Hilfsmittel für alle Aufgaben bloß Papier und Stift und ein nicht programmierbarer Taschenrechner.
Es will mir nicht in den Kopf, dass diese drei Hilfsmittel hier nicht ausreichend sein sollen ...  :-/
Mein Mathe-Prof im Studium hatte sogar die Benutzung von Taschenrechnern stets entschieden abgelehnt und immer mit uns gemeckert, wenn wir den benutzten.

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Mein Mathe-Prof im Studium hatte sogar die Benutzung von Taschenrechnern stets entschieden abgelehnt und immer mit uns gemeckert, wenn wir den benutzten.

Dann sind die Aufgaben auch allesamt deutlich einfacher.

Wir konnten früher entscheiden ob wir im Matheunterricht Taschenrechner benutzen wollten oder nicht. Mit Taschenrechner sind die Aufgaben dann eben nur schwieriger. 

Genauso wird das mit den Schülern gemacht die ein CAS benutzen dürfen. Die bekommen hat schwierigere Aufgaben, die man von Hand nur mit mehr Aufwand machen kann. Zumindest hier in Deutschland. 

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Mein Freund, mit dem ich das Thema schon lange diskutiere, hat mir heute per E-Mail eine Anregung geschickt, die ich für total plausibel halte.

Mal in meinen Worten ausgedrückt:

Wäre die Kette endlos lang, dann würden sich Zwischenwerte (z. B. der Spannungen über den B-Widerständen) ergeben, die per Korrekturfaktor vermutlich ohne viel Aufwand mit einer e-Funktion in Deckung gebracht werden können.

Nur: die Kette ist eben nicht unendlich lang!
Darum ergibt sich eine weitere Verzerrung der Funktion, eben weil am letzten Glied die "Last", in Form einer dort angehängten, unendlich langen Kette, fehlt.

Demnach müsste man, wenn man eine auf e basierte Formel stricken wollte, das Fehlen einer (ans letzte real vorhandene Glied angehängten) gleichartig aufgebauten, aber unendlich langen Kette, berücksichtigen.

Rein intuitiv erscheint mir dieser Gedanke gerade völlig plausibel!
Dann müsste man, damit die Formel flexibel ist, aus den beiden jeweils gegebenen Widerständen irgendwie ableiten, welchen Wert eine daraus gebildete, unendlich lange Kette hätte und diesen Wert dann als Korrekturfaktor in die eigentliche Formel einbauen, die die begrenzt lange Kette korrekt berechnet.

Was meinst Du dazu, Der_Mathecoach?

Answer 1

Auf alle Fälle lässt sich die rekursive Darstellung etwas vereinfachen.

Wenn man einfach einmal g_n+1 - g_n berechnet, erhält man \( \frac{-g_n^2}{b+g_n} \), also gilt  $$g_{n+1}=g_n-\frac{g_n^2}{b+g_n}=g_n(1-\frac{g_n}{b+g_n})=g_n(\frac{b}{b+g_n})$$

Der Wert a wird also gar nicht benötigt (außer zum Festlegen des ersten Folgenglieds).

Comments

Danke, Abakus, aber da stimmt was nicht (oder ich habe einen Fehler gemacht).

Wenn ich Deine Formel in mein Programm übertrage ...
siehe Origninal-Thread:
https://www.nanolounge.de/25959/widerstandskette-mit-n-gliedern-aus-je-zwei-widerstanden

... und die Ergebnisse mit den Werten vergleiche, die mein Programm normalerweise liefert, dann driften die Ergebnisse aus Deiner Berechnungsmethode mit steigendem n immer weiter vom korrekten Wert weg.
Die Ergebnisse nach Deiner Methode sind stets eine Spur zu klein.

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Hast du g1 mit a+b definiert?

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Ja, das habe ich beim ersten Glied gemacht.

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Ich weiß ja nicht, was dein Programm ist.

Sowas kann man auch ganz simpel mit Excel machen - einmal eingeben und dann nach unten ausfüllen...

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Es gelingt mir gerade nicht, ein Bild, oder sonstiges Attachment anzuhängen.

Hier der Screenshot, der den Quelltext zeigt, sowie die Ausgabe unten in der Console:

https://www.edv-dompteur.de/forum/index.php?page=Attachment&attachmentID=799

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... es gibt da übrigens zwei kleine Fehlerchen in den Kommentarzeilen, wie ich gerade sehe, die daraus resultieren, dass die Widerstände früher anders hießen ...

Aber das erschließt sich eigentlich, wenn man den Code anschaut.

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Der Perfektion halber, hier der korrigierte Screenshot:

https://www.edv-dompteur.de/forum/index.php?page=Attachment&attachmentID=800

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Der Wert a wird also gar nicht benötigt

besonders dann nicht, wenn man ihn einfach weglässt

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Ra verwende ich doch nur für das erste Glied.
Wenn ich Ra auch dort weg lasse, stimmen die Ergebnisse erst recht nicht mehr.

Mein Programm rechnet nach zwei Verfahren:
Einmal nach meiner bewahrten Methode (mit Ra) und einmal nach der Methode von Akakus (ohne Ra).

Unten in der Console erfolgen beide Ausgaben, für jedes n.

Answer 2

In vielen Fällen lässt sich auf Rekursionsgleichungen ein Herleitungsverfahren anwenden, das meines Wissens nach keinen deutschen Namen hat und auf englisch den witzigen Namen "generatingfunctionology" hat, denn es geht um Generierendenfunktionen. Es funktioniert grob gesagt in seiner einfachsten Form folgendermaßen:

1. Definiere dir eine formale Funktion, deren Taylorreihenkoeffizienten deine gesuchte Folge ist (genannt die Generierendenfunktion der Folge \(g_i\)): \(F(x):=\sum\limits_{i=1}^{\infty}g_i x^i\). Dabei macht man sich keine Gedanken darum, für welche \(x\) diese Reihe tatsächlich konvergiert.

2. Errechne genügend viele (formale) Ableitungen von \(F\) in Abhängigkeit voneinander, sodass du eine Differentialgleichung für \(F\) aufstellen kannst.

3. Löse die Differentialgleichung und finde eine explizite Form für \(F\).

4. Berechne die Taylorreihe von \(F\) mit deinem Wissen aus Schritt 3.

5. Die errechneten Taylorkoeffizienten sollten genau die Folge \(g_i\) ergeben.

In der Rechnung macht man meistens irgendwo "Wischiwaschi"-Dinge wie Summen vertauschen oder ähnliches dreckiges Zeug, deshalb muss man am Ende noch per Induktion die gefundene Formel beweisen, dann ist die Herleitung wasserdicht. Die "generatingfunctionology" ist quasi nur dazu da, die Formel erst einmal zu finden.

Ich bin mir recht sicher, dass Wolframalpha genau das hier angewandt hat, da das Programm eine riesige Datenbank von Differentialgleichungen samt Lösung und Reihenentwicklungen hat, das ist für solche Aufgabentypen natürlich perfekt. Ich habe es leider nicht geschafft, die Formel auf diese Weise zu finden, Computer können einfach besser krasse Umformungen finden als ein müder Masterstudent. Vielleicht hat ja irgendwer mehr Glück.

Falls du Interesse an mehr hast, der Autor des einführenden Buchs für dieses Thema hat sein Lehrbuch online kostenfrei zur Verfügung gestellt. Das Thema ist relativ esoterisch (= kein hot topic in der Forschung) aber unglaublich reich und für Elektrotechniker oder Physiker ein extrem nützliches Werkzeug, das nur wenige Leute kennen: https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfologyLinked2.pdf

Comments

Puuh, danke für Deinen Beitrag, haibeRt.

Also wenn ich so durch Dein verlinktes PDF scrolle, dann denke ich mir, dass es wahrscheinlich Menschen geben mag, die in der Lage sind, Nutzen daraus ziehen können.

Ebenso mag es Menschen geben, die auf einem Einrad fahrend mit sieben Bällen jonglieren können, während sie ein volles Weinglas auf der Nase balancieren ...

Also ich gehöre leider nicht dazu.  <:'-(

Aber Dein Posting ist auf jeden Fall von lobenswert hoher Qualität, klar strukturiert und an sich auch erkennbar gut erklärt, wofür ich mich sehr bedanke! Nur ist das für mich kleinen Wurm wirklich um Schuhnummern zu groß.