Bestimmen Sie die ersten Glieder der Folge und skizzieren Sie diese

Question

Aufgabe 8 (Folgen):

Bestimmen Sie die ersten Glieder der Folge \( <a_{n}> \) und skizzieren Sie diese. \( \quad a_{n}=\frac{n+1}{2^{n}} \)

Aufgabe 9 (Folgen):

Bestimmen Sie die eriten Glieder der rekuriven Folge \( <a_{n}> \) und skizzieren Sie diese \( a_{1}=2 ; a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2}+\frac{1}{a_{n}} \quad n \geq 1 \)

Answer 1

Also die erste Folge ist ja ähnlich wie eine Funktion definiert. Du könntest auch f(x) = (x+1)/(2^x) schreiben. Das wäre nicht genau dasselbe, weil bei Folgen n bzw. x nur natürliche Zahlen annehmen kann. Du dürfest also nicht f(2,5) oder sowas berechnen, halt nur f(1), f(2), f(3), ...

Als Funktion würde das so aussehen:

Du musst jetzt halt drauf achten, dass die Definitionswerte bei einer Folge nur 1,2,3, ..., also die natürlichen Zahlen sind. D.h. alle was zwischen 1,2 und 2,3 und 3,4 und ... ist, gehört nicht zur Folge. In der Skizze kannst du dir dann Punkte denken bei x = 1, 2, 3, 4, ... und dazwischen ist nichts.

 

Bei der zweiten Folge musst du die Folgenglieder nacheinander ausrechnen, ja.

Es ist a1 = 2.

Dann ist nach der Vorschrift

a2 = a1/2 + 1/a1 = 2/2 + 1/2 = 3/2

a3 = a2/2 + 1/a2 = (3/2)/2 + 1/(3/2) usw.

Zur Skizze musst du das auch nur noch in ein Koordinatensystem einzeichnen, als Punkte. Dabei ist der Index bei den Folgen, also bei a2 z.B. 2, dein "x" in dem Koordinatensystem und den Wert, den das Folgenglied ergibt, dein "y". Also x = 2, y = 3/2. x = 3, y = (3/2)/2 + 1/(3/2) usw.

Comments

Danke sehr :))) ich habe mal beide Aufgaben versucht nach deiner Theorie zu rechnen, bei der ersten Aufgabe klappt es ohne Probleme, jedoch komme ich bei der zweiten Aufgabe in einen Teufelskreis. Ich schätze mal da hab ich etwas falsch berechnet.

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Nein, das ist richtig. Lass dich nicht verwirren. Der Grenzwert der zweiten Folge ist die Wurzel aus 2. Es ist $$\sqrt{2} = 1,414213562...$$

Also kommt sie natürlich immer näher an die Wurzel aus 2 heran, erreicht sie aber nie.

Also kein Teufelskreis :P Die Wurzel aus 2 hat ja unendlich viele Nachkommastellen, also gibt es keine Chance, die Wurzel aus 2 als Dezimalzahl zu schreiben. Diese Folge ist aber eine Möglichkeit, die Wurzel aus 2 beliebig nahe anzunähern. Das kann z.B. bei Taschenrechnern verwendet werden, um Wurzeln zu berechnen.

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Oh da hätte ich doch schneller drauf kommen können die wollen einen schon ein wenig reinlegen mit diesen Aufgaben :D Danke für die ausführlichen Tipps :))