Vereinfachung der Wurzelgleichung √(x+11) - √(x)=1, Lösungsmenge und Definitionsbereich

Question

ich habe hier eine aufgabe die lautet: vereinfache die folgende gleichung soweit wie möglich:

ich geb das jetzt als Potenz an: (x+11)^1/2 - (x)^1/2=1

als definitionsbereich habe ich folgendes:  D:={x elementR  für die gilt:x ist größergleich -11 oder x ist größer als 0}

 

das es um eine Wurzelgleichung handelt habe ich dann quardriert  , jedoch als ergebnis bekomme ich 0=-10???

Answer 1

Definitionsbereich ist  D = {x∈ℝ|x≥0}.

$$ \begin{array} { l } { \sqrt { x + 11 } - \sqrt { x } = 1 } \qquad | \text{ quadrieren } \\ { \Rightarrow x + 11 - 2 \sqrt { x ( x + 11 ) } + x = 1 } \\ { \Rightarrow x + 5 = \sqrt { x ( x + 11 ) } + x = 1 } \qquad | \text{ quadrieren } \\ { \Rightarrow x ^ { 2 } + 10 x + 25 = x ^ { 2 } + 11 x } \\ { \Rightarrow x = 25 } \end{array} $$

Comments

gut danke!. meine Lösungsweg sieht bisschen anders aus habe jedoch auch das gleiche Ergebnis bekommen ;-).ich sah anfänglich nicht das mit der binoformel

Answer 2

Nach dem Quadrieren erhältst du mit der 2. binomischen Formel den folgenden Ausdruck:

(x+11) - 2*((x+11)*x)^1/2 + x = 1  |-(x+11+x)

-2*((x+11)*x)^1/2 = -2x-10  |:(-2)

((x+11)*x)^1/2 = x+5  |(...)²

(x+11)*x = (x+5)²

x²+11x = x²+10x+25 |-(10x+x²)

x = 25

Zur Probe setzt man das in die Ausgangsgleichung ein:

(25+11)^1/2 - (25)^1/2 = √36 - √25 = 6-5 = 1

Also ist x = 25 eine Lösung der Gleichung.

 

Übrigens muss die Lösungsmenge natürlich

D = {x∈ℝ: x≥0}

lauten!
Denn für jede Zahl im Intervall [-11, 0] ist die erste Wurzel bereits nicht definiert, genauso dann die ganze Gleichung.